Incompréhension géométrie élémentaire

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice tiré d'un livre de MPSI.

$ABC$ étant un triangle quelconque et $\alpha, \beta, \gamma$ trois réels strictement positifs, on pose $G$ le barycentre du système $(A,\alpha), (B,\beta), (C,\gamma).$

1) Montrer que les aires des triangles $GBC$, $GCA$ et $GAB$ sont proportionnelles à $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$.

2) Trouver $(\alpha,\beta,\gamma)$ pour que $G$ soit le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.

1. De $\alpha.\overrightarrow{GA} + \beta.\overrightarrow{GB} + \gamma.\overrightarrow{GC} = \vec{0}$ on tire pour tout point $M$ du plan : $(\alpha+\beta+\gamma).\overrightarrow{MG} = \alpha.\overrightarrow{MA} + \beta.\overrightarrow{MB} + \gamma.\overrightarrow{MC}$.

Puis lorsque $M=A : \overrightarrow{AG}=\frac{\beta.\overrightarrow{AB} + \gamma.\overrightarrow{AC}}{\alpha+\beta+\gamma}$

Ainsi, $Aire(GAB)=\frac{1}{2}.|det(\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AB})|=\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}*\frac{1}{2}.|det(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB})|=\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}*Aire(ABC)$

On peut refaire la même chose avec les triangles $GBC$ et $GCA$. Je ne comprends pas où est la relation de proportionnalité.

2. Soit $I$ le centre du cercle inscrit et $r$ le rayon de ce cercle. En faisant un dessin, on obtient facilement les aires des triangles $IBC$, $ICA$ et $IAB$ : $Aire(IBC)=\frac{1}{2}*r*BC,\:Aire(ICA)=\frac{1}{2}*r*CA \:et\: Aire(IAB)=\frac{1}{2}*r*AB$

Cela donnerait envie de conclure, en admettant le résultat de la première question, que $I$ est le barycentre de $(A,BC),(B,CA),(C,AB)$ mais encore une fois je ne vois pas où la proportionnalité sachant que $r$ dépend aussi des longueurs des côtés du triangle $ABC$.

Je vous remercie par avance pour vos lumières.