Courbure et dérivée seconde
Bonjour,
1)Comment définit on la notion de courbure mathématiquement ? (je me représente visuellement en dimension 1 une &augmentation de courbure comme une tige que l'on tord de plus en plus)
2) Comment faire le lien simplement entre une courbure et la dérivée seconde ?
3) Que peut on dire en dimension supérieure à 1 ? (faire le lien entre une "courbure" est une hessienne ?)
Merci
1)Comment définit on la notion de courbure mathématiquement ? (je me représente visuellement en dimension 1 une &augmentation de courbure comme une tige que l'on tord de plus en plus)
2) Comment faire le lien simplement entre une courbure et la dérivée seconde ?
3) Que peut on dire en dimension supérieure à 1 ? (faire le lien entre une "courbure" est une hessienne ?)
Merci
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Réponses
Ce sont les définitions non mathématiques qui sont les plus agréables à regarder!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bruno
Je voulais seulement souligner qu'il était difficile pour un objet mathématique d'avoir une définition qui ne le soit pas!
Amitiés
[small]p[/small]appus
On s' interesse à un cercle de rayon $R$ centré en 0 dans $R^2$. Le cercle possède donc une "un paramétrage" du type $t \to R(cos(t),sin(t))$.(pour définir correctement l'arc paramétré il faut également le domaine de définition, nous pouvons prendre [0,2pi[)
1) Je trouve "une paramétrisation normale" locale (la dérivée est de norme 1) en un point M du cercle (c'est la même en tout point du cercle) en divisant par la constante obtenue en normalisant la dérivée du paramétrage précédent:
$t \to (cos(t),sin(t))$.
2) Je calcul la norme de la dérivée seconde qui vaut 1
La courbure d'un cercle est donc 1.
J'imagine que ce n'est pas la correction type, donc si vous avez des modèles de corrections plus "académiques" je suis preneur.
Le changement de paramètre n'est pas bon car il change la courbe. Du cercle de rayon $R$, on est brusquement passé au cercle de rayon $1$, c'est ennuyeux. Si $M:[0,2\pi]\to\R^2$, $t\mapsto(R\cos t,R\sin t)$ désigne la courbe initiale (pas de raison d'interdire à la courbe de revenir à son point de départ), un changement de paramètre doit conduire à quelque chose de la forme $N=M\circ\phi:[a,b]\to\RM^2$, $s\mapsto M\bigl(phi(s)\bigr)$.
Same player, shoot again...
@pldx: tout est évident pour toi mais malheureusement tu ne sais pas transmettre. C'est dommage car un tel savoir perd beaucoup de valeure^^
NB : La notation $\alpha$ pour un reparamétrage de la courbe $M:t\mapsto M(t)$ ne me paraît pas très heureuse. « Souvent », et au moins ici, $\alpha$ est la mesure de l'angle entre le premier vecteur de base et le vecteur tangent $T$ et $\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}$ est précisément la courbure (si la courbe est paramétrée par longueur d'arc, i.e. si la dérivée est de norme $1$).
Dans la référence donnée par Math Coss, le calcul de la courbure pour une courbe $\Gamma$ définie implicitement par une équation de la forme $F(x,y)=0$ en repère orthonormé est qualifié de douteux.
Alors je pose la question précise suivante:
Soit $M\in\Gamma$ et $C$ le centre de courbure de $\Gamma$ en $M$.
Calculer les composantes du vecteur $\overrightarrow{MC}$ en fonction des valeurs en $M(x,y)$ de $F$ et de ses dérivées partielles.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il y a plusieurs façons de calculer ce vecteur $\overrightarrow{MC}$ que j'aime bien appeler vecteur de courbure mais c'est une terminologie qui n'engage que moi.
En voici une, basée sur le lemme suivant:
On se donne une famille de droites dépendant de deux paramètres $(t,u)$:
liés par une relation:
$f(X,Y,t,u)=a(t,u)X+b(t,u)Y+c(t,u)=0$
$g(t,u)=0$
Alors l'enveloppe des droites de cette famille s'obtient en rajoutant l'équation suivante exprimant la nullité d'un jacobien
$\dfrac{D(f,g)}{D(t,u)}=0$
C'est déjà un bon petit exercice de calcul différentiel que de démontrer ce lemme mais on le sait la théorie des enveloppes est si compliquée qu'on a décidé en haut lieu de la supprimer de notre culture, toujours cette politique de l'analphabétisme chère à nos gouvernants de droite comme de gauche.
Alors pourquoi se fatiguer à démontrer ce lemme et d'ailleurs comment l'appliquer?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le savoir authentique n'a-t-il jamais existé autrement que par ses détenteurs?
Longue vie aux géo-maîtres.
Ne t'inquiète pas!
Le cas douteux de Wikipedia le restera.
Ce n'est pas très grave.
Amicalement
[small]p[/small]appus