Courbure et dérivée seconde

Bonjour
Ce sont les définitions non mathématiques qui sont les plus agréables à regarder!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Bruno
Je voulais seulement souligner qu'il était difficile pour un objet mathématique d'avoir une définition qui ne le soit pas!
Amitiés
[small]p[/small]appus

Ce serait ennuyeux que tous les cercles aient la même courbure, non ? Tu as sans doute noté que la courbure, c'est l'inverse du rayon de courbure. Il serait souhaitable que la courbure d'un cercle de rayon $R$ soit $1/R$ et pas $1$. (Mais enfin, elle est constante, c'est déjà quelque chose.)

Le changement de paramètre n'est pas bon car il change la courbe. Du cercle de rayon $R$, on est brusquement passé au cercle de rayon $1$, c'est ennuyeux. Si $M:[0,2\pi]\to\R^2$, $t\mapsto(R\cos t,R\sin t)$ désigne la courbe initiale (pas de raison d'interdire à la courbe de revenir à son point de départ), un changement de paramètre doit conduire à quelque chose de la forme $N=M\circ\phi:[a,b]\to\RM^2$, $s\mapsto M\bigl(phi(s)\bigr)$.

Same player, shoot again...

First things first. Mais si c'est particulièrement simple, tu dois pouvoir le faire particulièrement vite (et juste).

Eh bien, dérivons pour voir : est-ce que $\|\alpha'(s)\|=1$ pour tout $s$ ? Si oui, il faut continuer !

NB : La notation $\alpha$ pour un reparamétrage de la courbe $M:t\mapsto M(t)$ ne me paraît pas très heureuse. « Souvent », et au moins ici, $\alpha$ est la mesure de l'angle entre le premier vecteur de base et le vecteur tangent $T$ et $\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}$ est précisément la courbure (si la courbe est paramétrée par longueur d'arc, i.e. si la dérivée est de norme $1$).

Bonne Nuit
Il y a plusieurs façons de calculer ce vecteur $\overrightarrow{MC}$ que j'aime bien appeler vecteur de courbure mais c'est une terminologie qui n'engage que moi.
En voici une, basée sur le lemme suivant:
On se donne une famille de droites dépendant de deux paramètres $(t,u)$:
liés par une relation:
$f(X,Y,t,u)=a(t,u)X+b(t,u)Y+c(t,u)=0$
$g(t,u)=0$
Alors l'enveloppe des droites de cette famille s'obtient en rajoutant l'équation suivante exprimant la nullité d'un jacobien
$\dfrac{D(f,g)}{D(t,u)}=0$
C'est déjà un bon petit exercice de calcul différentiel que de démontrer ce lemme mais on le sait la théorie des enveloppes est si compliquée qu'on a décidé en haut lieu de la supprimer de notre culture, toujours cette politique de l'analphabétisme chère à nos gouvernants de droite comme de gauche.
Alors pourquoi se fatiguer à démontrer ce lemme et d'ailleurs comment l'appliquer?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir @pappus,

Le savoir authentique n'a-t-il jamais existé autrement que par ses détenteurs?
Longue vie aux géo-maîtres.