Lignes de niveau

Bonjour
Pour être gentil, j'ai même dessiné plusieurs lignes de niveau, facile une fois qu'on a créé la macro!
On devine qu'il s'agit d'ellipses concentriques ayant même centre $K$.
Encore faut-il le montrer et cela ne fait pas progresser beaucoup le schmilblic de la construction!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Pierre.
Tu sais depuis longtemps que je suis un béotien en informatique!
Je ne connais pas la fonction grep! snif et resnif!
Que fait-elle exactement?
En tout cas le centre commun est effectivement le point de Lemoine.
Cela se voit sur les équations de Poulbot que je remercie.
C'est déjà un premier pas dans cette construction, le second mais pas le dernier étant celle des axes communs de ces ellipses homothétiques!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poubot
En vérité,en vérité, tu nous le dis!
Je viens de vérifier et c'est exact.
Il faudrait faire un petit topo sur le lien entre nos deux points de vue!
Cela donne une construction plus simple que la mienne de ces axes car construire les droites invariantes d'une application affine, ce n'est pas de la tarte, même si j'ai dû donner cette construction ici il y a bien des années!
En tout cas, j'ai une macro qui fait ce sale boulot!
Faisons le point.
On a le centre: le point de Lemoine $K$, les axes par ta construction.
Il ne reste plus qu'à utiliser le point $P$, bien sûr mais comment?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir
Voici le raisonnement que je me suis tenu pour arriver à cette histoire de triangle orthique.
Soit $f(M)=d(M,BC)^2+d(M,CA)^2+d(M,AB)^2$
On sait que $f$ est polynomiale de degré $2$ et qu'elle atteint son minimum au point de Lemoine $K$.
On a donc: $f(M)=f(K) +q(\overrightarrow{KM})$ où $q$ est une forme quadratique définie positive.
Soit $u$ l'opérateur symétrique associé à $q$.
On a donc: $q(h)=\langle u(h)\vert h\rangle$
Par suite $grad(f)(M)=2u(\overrightarrow{KM})$
Mais si $PQR$ est le triangle podaire de $M$, on a aussi:
$grad(f)(M)=2(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{RM})$
Soit $A'B'C'$ le triangle orthique.
On a: $grad(f)(A)=2\overrightarrow{A'A}$, $grad(f)(B)=2\overrightarrow{B'B}$, $grad(f)(A)=2\overrightarrow{C'C}$
Soit $g(M) =M -\dfrac 12 grad(f)(M)=M-u(\overrightarrow{KM})$
Il est clair que $g$ est affine
$g$ transforme le triangle $ABC$ en son triangle orthique et que $g(K)=K$.
Enfin, l'égalité $\vec g=Id -u$ prouve qu'en vectorialisant en $K$, les droites invariantes de $g$ sont exactement les sous-espaces propres de $u$ orthogonaux d'après le théorème spectral.
J'ai remarqué qu'après avoir évoqué le théorème spectral, on se sent toujours mieux, bizarre, bizarre!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
@Poulbot
Je serais intéressé par une preuve de cette isogonalité!

Merci Poulbot
On a donc le centre $K$ et les axes.
Si on se donne en plus le point $P$, on connait le gradient $grad(f)(P) =\overrightarrow{P_AP}+\overrightarrow{P_BP}+\overrightarrow{P_CP}$ où $P_AP_BP_C$ est le triangle podaire de $P$.
Il ne devrait être plus très difficile de construire la ligne de niveau passant par $P$, oui mais comment?.
C'est là qu'une petite lecture du Lebossé-Hémery s'impose!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poulbot
On peut aussi passer par les foyers!
$OF^2=OF'^2=\overline{ON}.\overline{OT}$, etc...
Ouf, cette construction de lignes de niveaux est maintenant terminée!
Il faut quand même rassurer la population: jamais une telle épreuve de géométrie sur ordinateur n'existera et la seule conique qu'ont pourrait être amené à tracer sur son écran est le cercle, trigonométrique évidemment!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol
A moi qui ne connait pratiquement rien de Geogebra, peux-tu m'indiquer les outils de Geogebra que tu as utilisés pour tracer la ligne de niveau.
Obtenir l'équation n'est pas si facile que cela mais ensuite que faut-il faire?
Trouver un cinquième point comme le suggère Poulbot?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol!
Il y a quand même de la géométrie mais beaucoup moins que dans ma méthode.
Le logiciel idéal serait celui où tu rentres le repère et l'équation et où tu appuies sur la touche Entrée.
Je devine que Sage doit pouvoir faire cela!
Quand j'étais en Taupe, j'aurais bien été incapable de tracer la moindre de ces fichues ellipses!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Poubot
Si tu te donnes le centre, les axes, un point $P$ et sa normale, comment peux-tu prévoir quel sera l'axe focal?
Je trouve que ta méthode est meilleure!
On peut aussi construire un cinquième point via le théorème de Pascal.
Il serait intéressant de voir ce qui se passe quand on se donne le centre, les axes et le point $P$ et qu'on fait tourner la normale autour de $P$.
Amicalement
[small]p[/small]appus