Bonsoir Xiliyas72
Il me semble avoir déjà proposé cet exercice dans le passé.
Mais j'ai assez donné!
Il faudra que tu réfléchisses un peu cette fois même s'il est un peu plus difficile que les précédents
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Tout ce que je peux dire, c'est que les valeurs numériques ont été choisies pour que le résultat final soit un entier; ça nous fait une belle jambe!
Bravo Xilyas
C'est le bon résultat!
Mais tu es un petit cachottier!
J'aurais aimé que tu nous fisses part de tes calculs.
C'est cela le plus intéressant!
Quel est le résultat en fonction des aires $S_1$ et $S_2$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
Voici ma solution rédigée au niveau CAPES ou Agrégation.
Il serait intéressant d'en avoir une rédaction plus élémentaire si Xilyas veut bien se dévouer.
Le triangle $OCD$ est homothétique du triangle $OAB$ dans une homothétie de centre $O$ et de rapport : $\sqrt{\dfrac TS}$.
L'affinité d'axe $AC$ transformant $B$ en $D$ a donc pour rapport: $\sqrt{\dfrac TS}$.
Elle transforme le triangle $OAB$ en le triangle $OAD$ et le triangle $OBC$ en le triangle $ODC$.
Par suite:
$\dfrac US=\dfrac TV=\sqrt{\dfrac TS}$.
On en déduit:
$U=V=\sqrt{ST}$
L'aire totale vaut donc: $S+T+2\sqrt{ST}=(\sqrt S+\sqrt T)^2$
La morale de l'histoire est qu'en géométrie, il faut toujours penser transformations!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mon cher Xilyas72
Tu m'as surtout donné le torticolis avec mon iPhone.
J'ai juste pu deviner que tu avais utilisé les hauteurs, donc ta solution est élémentaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
On peut rédiger de manière élémentaire sans aucune transformation.
Les triangles $ABC$ et $ABD$, ayant même base et même hauteur, ont même aire : $S+U=S+V$ d'où : $U=V$.
Les triangles $OAD$ et $OAB$ (resp. $OCD$ et $OCB$ ) ayant même hauteur, le rapport de leurs aires est celui de leurs bases : $\frac{U}{S}=\frac{OD}{OB}=\frac{T}{V}$.
C'est plutôt un problème de collège que de CAPES ou d'agreg.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Sur la figure de Pappus, l'angle $DOC$ est obtus. De toutes manières, comme il l'a fait remarquer, c'est un problème de géométrie affine, le résultat reste vrai si l'on fait subir à la figure n'importe quelle transformation affine, alors l'angle chaut fort peu.
Bonjour
Au niveau CAPES ou Agrégation, on est obligé de passer par la géométrie affine pour bien montrer au Jury qu'on maîtrise son sujet, au niveau Collège ou Lycée, on doit se contenter de la géométrie euclidienne.
Amicalement
[small]p[/small]appus
On peut très bien donner une solution euclidienne pour un problème de géométrie affine réelle. Exemple : l'ellipse de Gergonne-Steiner. Moi aussi dans mon message précédent, j'ai donné une rédaction euclidienne puisque j'ai parlé de hauteur du triangle. J'aurais pu donner une rédaction affine, mais elle aurait été plus lourde.
Ici nous ne sommes ni au CAPES ni à l'agreg ni au collège. Nous sommes des gens qui cherchent des solutions à des problèmes mathématiques, et les plus simples de ces solutions sont les meilleures, à mon avis.
Amitiés clichoises,
Fr. Ch.
Réponses
Il me semble avoir déjà proposé cet exercice dans le passé.
Mais j'ai assez donné!
Il faudra que tu réfléchisses un peu cette fois même s'il est un peu plus difficile que les précédents
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Tout ce que je peux dire, c'est que les valeurs numériques ont été choisies pour que le résultat final soit un entier; ça nous fait une belle jambe!
J'ai trouvè 64
Cordialement
C'est le bon résultat!
Mais tu es un petit cachottier!
J'aurais aimé que tu nous fisses part de tes calculs.
C'est cela le plus intéressant!
Quel est le résultat en fonction des aires $S_1$ et $S_2$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici ma solution rédigée au niveau CAPES ou Agrégation.
Il serait intéressant d'en avoir une rédaction plus élémentaire si Xilyas veut bien se dévouer.
Le triangle $OCD$ est homothétique du triangle $OAB$ dans une homothétie de centre $O$ et de rapport : $\sqrt{\dfrac TS}$.
L'affinité d'axe $AC$ transformant $B$ en $D$ a donc pour rapport: $\sqrt{\dfrac TS}$.
Elle transforme le triangle $OAB$ en le triangle $OAD$ et le triangle $OBC$ en le triangle $ODC$.
Par suite:
$\dfrac US=\dfrac TV=\sqrt{\dfrac TS}$.
On en déduit:
$U=V=\sqrt{ST}$
L'aire totale vaut donc: $S+T+2\sqrt{ST}=(\sqrt S+\sqrt T)^2$
La morale de l'histoire est qu'en géométrie, il faut toujours penser transformations!
Amicalement
[small]p[/small]appus
[Image remise à l'endroit. AD]
Tu m'as surtout donné le torticolis avec mon iPhone.
J'ai juste pu deviner que tu avais utilisé les hauteurs, donc ta solution est élémentaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Les triangles $ABC$ et $ABD$, ayant même base et même hauteur, ont même aire : $S+U=S+V$ d'où : $U=V$.
Les triangles $OAD$ et $OAB$ (resp. $OCD$ et $OCB$ ) ayant même hauteur, le rapport de leurs aires est celui de leurs bases : $\frac{U}{S}=\frac{OD}{OB}=\frac{T}{V}$.
C'est plutôt un problème de collège que de CAPES ou d'agreg.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
La surface du trapèze est égale à 64 ; si l'angle DOC est égal à 90 degré ( voir figure de Pappus)
Question :
Quelle est la nouvelle surface du trapèze ; si l'angle DOC est différent de 90 degré.
Cordialement .
Djelloul Sebaa
Au niveau CAPES ou Agrégation, on est obligé de passer par la géométrie affine pour bien montrer au Jury qu'on maîtrise son sujet, au niveau Collège ou Lycée, on doit se contenter de la géométrie euclidienne.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ici nous ne sommes ni au CAPES ni à l'agreg ni au collège. Nous sommes des gens qui cherchent des solutions à des problèmes mathématiques, et les plus simples de ces solutions sont les meilleures, à mon avis.
Amitiés clichoises,
Fr. Ch.