Un exercice original ?

Cela fait cinq relations distinctes.

Bonjour
Je crois qu'une question intéressante est la suivante:
On se donne trois réels quelconques $A$, $B$, $C$.
Résoudre en $(a,b,c)$ le système linéaire suivant:
$a=b\cos(C)+c\cos(B)$
$b=c\cos(A)+a\cos(C)$
$c=a\cos(B)+b\cos(A)$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour, pappus.
Le point de vue de Mathematica...

Cher pappus,
Je préfère appeler $x$, $y$ et $z$ les inconnues pour pouvoir noter $a=\tan(A/2)$, etc. (Tant pis pour les cas où $a$, $b$ ou $c$ n'est pas défini.) Alors le déterminant du système est, d'après Sage,
\[\begin{vmatrix}1 & -\cos\left(C\right) & -\cos\left(B\right) \\
-\cos\left(C\right) & 1 & -\cos\left(A\right) \\
-\cos\left(B\right) & -\cos\left(A\right) & 1\end{vmatrix}=
-\frac{4 \, {\left(a b + a c + b c - 1\right)} {\left(a b + a c - b c +
1\right)} {\left(a b - a c + b c + 1\right)} {\left(a b - a c - b c -
1\right)}}{{\left(a^{2} + 1\right)}^{2} {\left(b^{2} + 1\right)}^{2}
{\left(c^{2} + 1\right)}^{2}}.\]
L'annulation du facteur $ab+bc+ca-1$ équivaut à $\dfrac1a=\dfrac{b+c}{1-bc}$, c'est-à-dire à $\tan\left(\dfrac\pi2-\dfrac{A}2\right)=\tan\left(\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}2\right)$ (en écartant les cas où $a=0$ ou $bc=1$).
En prenant tous les facteurs en compte, la solution nulle doit être la seule, sauf si $\pm A\pm B\pm C=\pi\ [2\pi]$.
Si une telle congruence est satisfaite, le système est en général de rang $2$. Si par exemple $A+B+C=\pi\ [2\pi]$, le triplet $(\cos A,\cos B,\cos C)$ a l'air d'être solution (les autres sont ses multiples).
Mais si $A=B=C=\pi\ [2\pi]$, le système est de rang $1$ et dégénère en l'équation $x+y+z=0$.
Restent quelques cas éliminés au fil de la discussion, tant pis.

Ah oui, tiens, la formule $-\cos(B+C)=-\cos B\cos C-\cos B\cos C$ est ridicule. Va pour $(\sin A,\sin B,\sin C)$ alors.

Bonjour.

Il n'y a pas de cas particuliers dans la présentation faite par Math Coss. Dans la paramétrisation: $$
\cos \left( A \right) +i\sin \left( A \right)={\frac {i-a}{i+a}}$$ la lettre $a$ prend toutes les valeurs dans $\mathbb R \cup \{\infty\}$. La matrice devient: $$
M=\left[ \begin {array}{ccc} 1&{\frac {{c}^{2}-1}{{c}^{2}+1}}&{
\frac {{b}^{2}-1}{{b}^{2}+1}}\\ {\frac {{c}^{2}-1
}{{c}^{2}+1}}&1&{\frac {{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}}\\
{\frac {{b}^{2}-1}{{b}^{2}+1}}&{\frac {{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}}&1
\end {array} \right]

$$ Et son déterminant vaut:$$
-4\,{\frac { \left( ab+ac+bc-1 \right) \left( ab-ac-bc-1 \right)
\left( -ab-ac+bc-1 \right) \left( -ab+ac-bc-1 \right) }{ \left( {a}^{2
}+1 \right) ^{2} \left( {b}^{2}+1 \right) ^{2} \left( {c}^{2}+1 \right) ^{2} }}
$$ dans tous les cas (avec les règles usuelles pour l'évaluation à l'infini d'une fraction rationnelle), tandis que la relation $$\frac {1-ab-bc-ca}{a+b+c-abc}=0$$ est la relation usuelle qui caractérise trois angles de droites dont la somme vaut un angle droit.

Lorsque le rang vaut $2$, les solutions sont obtenues en prenant le wedge de deux lignes, par exemple les lignes 2 et 3. Et lorsque l'on introduit la relation de liaison, cela se simplifie pour redonner le résultat usuel.
$$
\left[ \begin {array}{c}
{\frac {4\,{a}^{2}}{ \left( {a}^{2}+1 \right) ^{2}}}\\
2\,{\frac {{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{c}^{2}+1}{ \left( {a}^{2}+1 \right) \left( {c}^{2}+1
\right) \left( {b}^{2}+1 \right) }}\\
2\,{\frac {-{a}^{2}{b}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{c}^{2}+1}{ \left( {a}^{2}+1
\right) \left( {c}^{2}+1 \right) \left( {b}^{2}+1 \right) }}
\end {array} \right] \simeq \left[ \begin {array}{c}
{\frac {2\,a}{{a}^{2}+1}}\\
{\frac {2\,b}{{b}^{2}+1}}\\
{\frac {2\,c}{{c}^{2}+1}}
\end {array} \right]
$$

En résumé, les sinus continuent d'être proportionnels aux côtés qui leur sont opposés. C'est la propriété d'obstination des sinus.

Cordialement, Pierre.