Lignes de niveau (suite)

Bonjour
Il s'agit d'une tentative de généralisation du fil Lignes de niveau initié par Pappus, que je salue respectueusement et amicalement.

On désignera par $\left( O\right) $ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ (centre $O$)

$u,v,w$ étant trois réels non nuls, on désigne par $\omega $ le point de coordonnées barycentriques $\left( u:v:w\right) $, par $\Omega $ son conjugué isogonal par rapport à $ABC$ et on considère la fonction numérique $F:M\rightarrow u.d\left( M,BC\right) ^{2}+v.d\left( M,CA\right) ^{2}+w.d\left( M,AB\right) ^{2}$.

$1)$ On suppose ici que $\omega \notin \left( O\right) $
Montrez que les lignes de niveau de $F$ sont des coniques homothétiques de centre $\Omega $ dont on discutera la nature.
Que dire de ces lignes de niveau si $\omega =O$?
Quels sont leurs axes si $\omega \neq O$?

$2)$ Montrez que les lignes de niveau de $F$ sont des hyperboles équilatères si et seulement si $u+v+w=0$.
Dans ce cas, déterminer la ligne de niveau $F^{-1}\left( 0\right) $ - d'après $1)$, les autres sont ses images par les homothéties de centre $\Omega $ -

$3)$ On suppose ici que $\omega \in \left( O\right) $.
Montrer que $F^{-1}\left( 0\right) $ est une parabole inscrite dans le triangle médial dont on précisera le foyer et la directrice.
Quelles sont les autres lignes de niveau de $F$?

Toute question supplémentaire est le bienvenue.

Amicalement. Poulbot