Lieu dans un quadrilatère complet

Bonjour,
Soient un quadrilatère complet $ABCDEF$ et un point $M$ quelconque du plan.
Les droites $ME$ et $MF$ coupent les côtés du quadrilatère complet en $K$ et $L$ et en $I$ et $J$.
Lieu de l’intersection $N$ de $KJ$ et de $IL$ ?
Ma démonstration, que voici, ne me satisfait pas vraiment, est-elle juste ? j'ai le sentiment qu'il y a une évidence qui m'échappe.

Tout point $M$ du plan peut être défini par une droite $EL$ et par sa position sur cette droite. Fixons nous un point $L$ (et donc $K$), $M$ se déplaçant seulement sur $EL$ :
Les points $I$ et $J$ se correspondent par homographie (est-ce bien vrai ?), si oui le point $N$ décrit une conique qui passe par $A$ et $C$. La droite $EL$ fait partie de la conique, il en résulte que $N$ est sur la diagonale $AC$.

(de façon identique, les droites $IK$ et $JL$ se coupent sur la diagonale $BD$)

Une autre méthode serait d’envoyer les points $C$ et $D$ à l’infini de façon à transformer $ABCD$ en un rectangle et de procéder à un calcul analytique assez simple dans un système de coordonnées orthonormé $(B, \vec{BC}, \vec{BA})$.

Amicalement
Louis