symétrie première bissectrice
Bonjour,
L'objectif est de démontrer que si deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont symétriques par rapport à une droite $d_{1}$ alors leurs coordonnées sont inversées
$x_{B}=y_{A}$
et
$y_{B} = x_{B}$
J'ai tracé une droite $d_{1}$ pour laquelle tous les points ont l'ordonnée égale à l'abscisse avec les points M (-1;1) et N (2;2) et P (5,5;5,5)
Puis j'ai placé deux points A ( 3;2) et B ( 2;3)
L'objectif est de démontrer que si deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont symétriques par rapport à une droite $d_{1}$ alors leurs coordonnées sont inversées
$x_{B}=y_{A}$
et
$y_{B} = x_{B}$
J'ai tracé une droite $d_{1}$ pour laquelle tous les points ont l'ordonnée égale à l'abscisse avec les points M (-1;1) et N (2;2) et P (5,5;5,5)
Puis j'ai placé deux points A ( 3;2) et B ( 2;3)
Réponses
-
En utilisant une propriété caractéristique de la symétrie Centrale : A est symétrique de B par rapport à M $\Leftrightarrow$ M est milieu de [AB]
en calculant le milieu de AB, j'obtiens
$x_{M}=\dfrac{x_{A }+ x_{B}}{2}\Leftrightarrow x_{M}=2,5$
et
$y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\Leftrightarrow y_{M}=2,5$
Le point M est bien sur la droite mais en considérant la symétrie par rapport à un point, je ne démontre rien puisque on me parle de symétrie par rapport à une droite -
Bonjour.
Pourquoi utiliser 3 points pour tracer une droite ???? la géométrie élémentaire se perd !!
Ce que tu écris au premier message n'a pas de sens, c'est faux pour toutes les droites $(d_1)$, sauf une !!
Par contre, ce qui est facile, c'est de démontrer :
* Si deux points ont des coordonnées échangées (x,y) et (y,x), alors ils sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
* Le symétrique du point M(x,y) par rapport à la première bissectrice est le point N(y,x).
Ces deux preuves sont à la portée d'un élève de première, et ne demandent que de connaître la définition de la symétrie orthogonale.
Cordialement. -
Bonjour Gérard
Je te remercie de m'avoir répondu (comment vas tu ?)
Mon objectif est de démontrer que $A(2;3)$ et $B(3;2))$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice
Comme on me parle de symétrie par rapport à une droite, il faut démontrer que AB est perpendiculaire à la première bissectrice
Pour cela, je démontre que OAB est un triangle isocèle en calculant la distance OA et OB
$OA=\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}+ (y_{A}-y_{O})^{2}}$
Les coordonnées du point O sont( $x_{O}=0;y_{O}=0$)
$OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(3-0)^{2}}= \sqrt{4 + 9}=6$
distance 0B
$OB= \sqrt{(x_{B}-x_{0})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}}$
$OB=\sqrt{(3-0)^{2}+(2-0)^{2}} = \sqrt{9+4}=6$
OAB est isocèle en A
et la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base d'un triangle isocèle est la médiatrice de la base donc perpendiculaire -
le milieu du segment (AB) est
$x_N=\dfrac{3+2}{2}=2,5$
et
$y_{N}=\dfrac{2+3}{2}=2,5$
La droite qui passe par l'origine du repère passe par le milieu de [AB] donc [AB]est orthogonal à la première bissectrice -
Tout simplement :
Le milieu de [AB] a pour coordonnées 2,5, 2,5 donc il est sur la première bissectrice; et la droite (AB) a pour pente $\frac{3-2}{2-3}=-1$ donc elle est perpendiculaire à la première bissectrice ($-1\times 1=-1$). (*)
Les mêmes raisons montrent que le symétrique de M(u,v) est N(v,u).
Cordialement.
(*) Si tu ne connais pas cette règle sur les coefficients directeurs, utilise le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$ où $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont les vecteurs de base du repère orthonormé. -
Gérard, je n'ai pas encore vu le produit scalaire, est ce que tu peux m'expliquer (un peu en avance !!)
-
Pour le produit scalaire, voir n'importe quel bouquin de première. Si tu ne connais pas, ce n'est pas sur un forum qu'il faut regarder ça.
Autrefois, la règle sur les coefficients directeurs de deux perpendiculaires était vue en troisième. -
Bonjour !
Une question idiote : pourquoi parler de "première" bissectrice puisque deux axes (droites orientées) ont une seule bissectrice ? -
@ Rakam
La première bissectrice est la droite pour laquelle tous les points ont l'abscisse égale à l'ordonnée -
Rakam,
en termes d'angles géométriques, il y a bien 2 bissectrices, et la première bissectrice est celle qui passe dans le premier quadrant. Il n'est donc pas nécessaire de pinailler. Les noms traditionnels servent encore.
Cordialement. -
Bonjour !
Ce n'était pas la peine de me donner une leçon de "tradition" : il suffisait de lire ce que j'ai écrit.
Je parlais de bissectrice pour l'angle de deux axes (pas deux droites ou angles géométriques).
Je persiste à dire qu'en écrivant "la bissectrice des axes" je désigne sans ambiguïté la droite d'équation $y=x$. -
Bonjour Rakam
Aussi, ce n'était pas la peine de me dire : question idiote
--> je ne cherche qu'à progresser, c'est tout ! -
Bonjour,
Rakam, dans ton premier message tu as parlé de la bissectrice de deux axes, pas de l'angle de deux axes.
Il n'y avait pas le mot "axes".
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour !
Mes excuses pour l'oubli de "angle" (pourrait-on parler de bissectrice sinon ?) mais le mot "axes" était bien là ! -
Bonjour,
Si A et B sont symétriques par rapport à la droite d
d'une part :
le point H milieu de [AB] est sur la médiatrice de [AB] donc $x_{H}=y_{H}$
$x_{H}=y_{H}\Leftrightarrow \frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$
en simplifiant les dénominateurs, j'obtiens : $x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}$
d'autre part :
l'origine du repère est équidistant des longueurs OA et OB donc OA = OB
$OA =\sqrt{(x_{A}+x_{O})^{2}+(y_{A}-y_{0})^{2}}$
$OB=\sqrt{(x_{B}-x_{0})^{2}+(y_{B}-y_{0})^{2})}$
comme l'origine du repère est sur la bissectrice alors son ordonnée est égale à son abscisse
$OA=\sqrt{x_{A}^{2}+y_{B}^{2}}$ et $OB=\sqrt{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}$
$OA^{2}=x_{A}^{2}+y_{B}^{2}$ et $OB^{2}=x_{B}^{2}+y_{B}^{2}$
comme OA = OB $\Leftrightarrow x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=x_{B}^{2}+y_{B}^{2}$ et $x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}$ -
En utilisant cette dernière relation $x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}$
je peux utiliser une identité remarquable $A^{2}-B^{2}$
$(x_{A}-x_{B})(x_{A}+x_{B})= (y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})$ -
$(x_{A}-x_{B})(y_{A}+y_{B})=(y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})$
$(y_{A}+y_{B})\left[ (x_{A}-x_{B})- (y_{B}-y_{A})\right] = 0$
un produit de facteur est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul
Soit $y_{A}+y_{B}=0$ et d'après la première relation $x_{M}=y_{M} $ alors $x_{A}+x_{B}=0$
je reprends ensuite $(x_{A}-x_{B})(x_{A}+x_{B})=(y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})$
alors $(x_{A}-x_{B})=(y_{B}-y_{A})$
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Bonjour!
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