Aire d'un quadrilatère

Ce problème me bluffe.

Tentative d'attaque.
Soit $R$ le rayon du cercle, $R>0$.
Soit $\widehat{BOC}=\alpha $, $\widehat{BOA}=\beta $ avec $0<\alpha \leq \beta <\pi $, $ SPDG$.
Alors : $BC=2R\sin \frac{\alpha }{2}\geq 1$, d'où : $\sin \frac{\alpha }{2}\geq \frac{1}{2R}$.
De même : $AB=2R\sin \frac{\beta }{2}\geq 1$, d'où : $\sin \frac{\beta }{2}\geq \frac{1}{2R}$.
Et encore : $AC=2R\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\geq 1$, d'où : $\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\geq \frac{1}{2R}$. Cette dernière hypothèse implique les deux précédentes.
Par ailleurs l'aire du triangle $BCD$ est : $S_{BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot OC\sin \alpha =R^{2}\sin \alpha $. De même : $S_{ABD}=R^{2}\sin \beta $.
Et par suite l'aire du quadrilatère $ABCD$ est : $S_{ABCD}=R^{2}(\sin \alpha +\sin \beta )$.
Pour prouver que $S_{ABCD}>\frac{1}{2}$, il suffit ;-) de prouver : $\sin \alpha +\sin \beta >2\sin ^{2}\frac{\alpha +\beta }{2}$.
Vrai ou faux ? Voire...
Bonne soirée.
Fr. Ch.

@chaurien. D'accord jusque là,
mais je me perds dans les branches de la discussion.

Bonjour
Ce qui m'inquiète surtout c'est que les longueurs et l'aire soient minorées par des nombres sans dimension.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Je ne sais pas si ça peut servir à quelque chose, mais Morley circonscrit dit que l'aire du quadrilatère $ABCD$ est égale à $\dfrac{i(a-c)(b^2+ac)}{2s_3}$, au signe près.

Cordialement,

Rescassol

On sait enfin que l'énoncé est vrai. Bravo.

Il me reste un sentiment de malaise.
Comme je suis incapable de suivre la démonstration,
je ne sais pas si la borne inférieure de l'aire est
$$
\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735...
$$
nombre atteint quand $(ABC)$ est équilatéral de côté 1 :

En modifiant un tout petit chouïa l'inégalité $a-\mathcal{A}(ABCD)>0$, on voit apparaître des solutions qui se concentrent autour de $a=1, t=0, u=-1$ et $a=1,t=-1,u=0$. Ce que retourne Maple, ce sont des points test pour chaque "bonne" cellule.

On cherche bien le minimum del'aire de $(ABCD)$
Dans mon exemple elle vaut $3^{-1/2}$
Dans le tien, où tu oublies l'aire de$(BCD)$, elle vaut 1.

Bonjour,

Voici une démonstration élémentaire.

Avec les données de l'énoncé, on note $\displaystyle r>0$ le rayon de cercle $C$, $\alpha$ l'angle $\widehat{AOB}$ et $\beta$ l'angle $\widehat{BOC}$ (comme les notations de @Chaurien). On a bien sûr $\displaystyle \alpha, \beta \in ]0, \pi[.$
On a immédiatement $\displaystyle 2r \sin {\alpha \over 2} \geq 1$ qui exprime que la longueur du segment $\displaystyle [AB]$ est plus grande que l'unité ; $\displaystyle 2r \sin {\beta\over 2} \geq 1$ qui exprime que la longueur du segment $\displaystyle [BC]$ est plus grande que l'unité ; $\displaystyle 2r \sin {\alpha+\beta \over 2} \geq 1$ qui exprime que la longueur du segment $\displaystyle [AC]$ est plus grande que l'unité.
L'aire du quadrilatère est la somme des aires des triangles $DAB$ et $DBC$ soit $\displaystyle A(ABCD) = \frac12 (2r) r \sin \alpha + \frac12 (2r) r \sin \beta = r^2 \sin \alpha + r^2 \sin \beta.$
On transforme (avec astuce) cette expression d'aire. D'abord, on utilise $\displaystyle 2r \sin {\alpha \over 2} \geq 1$ et $\displaystyle 2r \sin {\beta\over 2} \geq 1$ pour écrire $\displaystyle A(ABCD) \geq r \sin \alpha \times {1 \over 2 \sin {\alpha \over 2} } + r \sin \beta\times {1 \over 2 \sin {\beta\over 2} } = r(\cos {\alpha \over 2}+\cos {\beta\over 2})$ puis on utilise l'expression $\displaystyle 2r \sin {\alpha+\beta \over 2} \geq 1$ pour écrire $\displaystyle A(ABCD) \geq {\cos {\alpha \over 2}+\cos {\beta\over 2} \over 2 \sin {\alpha+\beta \over 2}} \geq \frac12 {\cos {\alpha \over 2}+\cos {\beta\over 2} \over \sin {\alpha \over 2} \cos {\beta\over 2} + \sin {\beta\over 2} \cos {\alpha\over 2} }.$ Il suffit alors d'utiliser $\displaystyle \cos {\alpha \over 2}, \cos {\beta\over 2} >0$ et $\displaystyle \sin {\alpha \over 2}, \sin {\beta\over 2} <1$ pour obtenir (en majorant le dénominateur) $\displaystyle A(ABCD) >\frac12.$

Bonjour

AIRE(ABCD)=BCxAB/2+ADxAB/2>DC/2+AD/2>AC/2>1/2

cordialement

Bonjour, j'ai un petit peu l'impression qu'en cherchant à préciser l'énoncé, on aura une idée de la voie où chercher...en fait je ne sais pas...
Aet C ne sont pas obligatoirement de chaque côté de BD. On a alors un quadrilatère concave,quelle formule prend-on pour son aire ? Je ne suis pas familier avec les aires algébriques;...

@df : ton problème se résoud facilement si tu vois que, pour tous points $A$ et $B$ du cercle $\Gamma$, le maximum de $AM+BM$ quand $M$ parcourt un arc de cercle d'extrémités $A$ et $B$ est atteint à l'intersection de cet arc avec la médiatrice de la corde $[AB]$.