conjugaison sur la droite de l'infini

Merci à Pappus et Poulbot d'avoir avancé dans mon brouillard.

La propriété " reconnue" est pour l'hyperbole: quand une parallèle à une asymptote coupe deux tangentes et leur point de contact, le segment compris entre la courbe et la corde de contact est la moyenne proportionnelle entre les segments déterminés par la courbe et les tangentes.

Et la "réciproque": lorsqu'une parallèle à une direction donnée rencontre en a,b et K les côtés OA,OB et AB du triangle OAB, le lieu des points C tels que CK2=Ca.Cb est une parabole quand la direction donnée est la médiane issue de O, sinon une hyperbole dit l'un des axes est parallèle à la direction donnée.

On voit sans calcul que le lieu pas par A et B et le milieu de OKo, si Ko correspond à la position de la droite de pente m qui passe par A.

C est le milieu (ou le conjugué du point à l'infini....) de KK' où K' est le conjugué de K par rapport à A et B sur ab.

J'ai fait les calculs (et la figure jointe où la pente vaut 3) en prenant un repère OA,OB, en désignant par m la pente de la direction donné et t l'abaisse de a sur OA.

Cela donne:

K = (mt+1/m+1;m(1-t)/m+1
Ko= (1/m+1;m/m+1)

si m=1, le lieu de C vient très vite (x+y-1)2-4xy=0, parabole d'axe parallèle à la médiane issue de O, tangente en A,B à OA et OB, et passant par le milieu de OKo,.Le lieu de K' est: (x-y)2=x+y, parabole passant par O, A et B.

Dans le cas général on a:
K' = (t(mt+1)/mt-t+2;mt(t-1)/mt-t+2)
C= ((1+mt)2/(1+m)(mt-t+2);m(1-t)2/(1+m)(mt-t+2)
hyperbole (x+y-1)2- xy (m+1)2/m =0 d'asymptotes y-mx+2m/1-m et y-x/m -2/1-m, de centre x=y=-2m/m+1.

La relation qui lie t (abscisse de a) au pied de la tangente issue de a sur OB est y= (1-t)/ (t(k/2-1)+1) où 2k=(m+1)2/m.

Ceci est laborieux.

Je pense qu'on peut tout retrouver sans calcul (on considère trivial que le lieu passe par A,B et le milieu de OKo), comme Poulbot a dû le faire:
- montrer que le lieu est une conique
-qu'elle est tangente en A et B à OA et OB (birapports et limite?)
-que dans le cas de la parabole son axe est parallèle à la direction donnée
-dans le cas de l'hyperbole, les directions d' asymptotes sont respectivement la direction de la droite donnée et sa symétrique par rapport à la médiane issue de O: je pensais pouvoir y arriver directement en raisonnant sur les points à l'infini des différentes directions (OA,OB,OK,OK') mais je fais une erreur méthodologique. Ceci dit on doit trouver queque chose en raisonnant sur les directions ?
-on doit aussi sans doute pouvoir dire quelquechose d'intelligent sur la position dd centre de l'hyperbole.

Je vous remercie de votre aide.

Amateur.

PS: je mets mon ordi en réparation lundi, serai absent quelques jours...





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