"Redressement" d'un champs de vecteurs

Bonjour,

Soit $M$ une variété différentielle et $X$ un champs de vecteurs régulier sur $M$. On suppose $X(x) \neq 0$ pour tout $x \in M$. Montrer qu'il existe une $1$ forme différentielle $\omega$ sur $M$ vérifiant sur un voisinage $U$ de $x_0 \in M$, $\omega _x (X(x))=1$ pour tout $x \in U$ ?

N'étant pas géomètre voici ce que je ferai : se ramener dans une carte locale au cas $M$ ouvert de $\mathbb{R}^n$ et alors prendre $\omega _x (Y) = \frac{Y \cdot X(x)}{|X(x)|^2}$

Est-ce correct pour vous?