Identité

Voici une nouvelle question de géométrie différentielle, disons de calcul diff sur des variétés : soient $X,Y$ deux champs de vecteurs sur une variété $M$. Montrer que $L_X \circ i_Y - i_Y \circ L_X = i_{[X,Y]}$ où $L_X$ est la dérivation de Lie, et $i_X$ représente le produit intérieur. Il faut obtenir la formule pour toutes les formes différentielles $\omega \in \Omega (M)$. Voici ce que je sais :

Pour $f$ une fonction lisse $M \to \mathbb{R}$, $i_X (fw)=fi_X \omega$, et $L_X = d \circ i_X + i_X \circ d$.
$(i_{[X,Y]} \omega )_x (Y_1, \dots , Y_{p-1}) = \omega ([X,Y](x),Y_1, \dots , Y_{p-1})$ où $\omega \in \Omega ^p(M)$ et :
$$(L_X \circ i_Y - i_Y \circ L_X)(\omega) = d \circ i_X (i_Y \omega) + i_X \circ d (i_Y \omega) - i_Y \circ d (i_X \omega) -i_Y \circ i_X (d \omega)$$

Comment montrer que ces deux quantités sont égales ? J'avoue ne pas très bien maîtriser le produit intérieur ...

Merci d'avance