Calcul d'un angle

ultra hassan · September 2017

Bonjour ,
j'ai trouvé un exercice sur internet qui montre le triangle dans le fichier joint si vous ne comprenais pas l'anglais l'exercice dit
l'angle BAC=90 et ABC=20 On place les points E et F sur AC et B respectivement tel que l'angle ABE=10 et ACF=30.Trouver l'angle CFE.
Moi j'ai essayé avec AF=1 car tout les triangles lui seront semblables grâce au sinus et cosinus j'ai trouvé CFE=20° mais est ce qu'il y aurait une méthode plus simple.
Merci d'avance 67340

Chaurien · September 2017

C'est un problème du type Langley adventitious angles (angles fortuits), dont nous avons parlé plusieurs fois :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,970181,970871
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1191675,1191675
Ma tentative : la perpendiculaire menée par $F$ à $AE$ coupe $AC$ en $D$. J'aimerais prouver que le triangle $DEF$ est équilatéral, mais je n'y arrive pas :-(.
Les pros de Geogebra pourraient nous inscrire tout ça dans un $n$-gone régulier approprié.
Et d'où vient ce bel énoncé ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

poulbot · September 2017

Bonjour
$\tan 10^{\circ }\tan 50^{\circ }=\tan 20^{\circ }\tan 30^{\circ }$
Cordialement. Poulbot

jean lismonde · September 2017

bonjour

tu appelles BC = 2r (r est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC)
tu peux par les relations métriques dans le triangle et avec les rapports trigonométriques
démontrer que l'angle EFC est égal à 20° mais la résolution est laborieuse

je te donne des indications pour une solution d'esprit davantage géométrique
tu appelles I le point d'intersection de BE et CF et tu remarques que BE est bissectrice de l'angle ABC qui vaut 20°

tu vas utiliser la relation du pied de la bissectrice dans le triangle quelconque
qui divise le côté opposé en deux sections proportionnelles aux deux autres côtés du triangle

tu vas démontrer que les deux triangles IFE et EFC sont semblables
en utilisant le relation de proportionnalité évoquée ci-dessus

le sommet E dans le premier triangle correspond au sommet C dans le second
or l'angle FCE vaut 30° (complémentaire de l'angle AFC dans le triangle rectangle AFC) donc l'angle IEF vaut 30 °

dans le triangle IEF l'angle IEF vaut 30° et l'angle EIF vaut 130 ° (supplémentaire de la somme des angles IBC + ICB)
donc l'angle CFE est égale à 20 °

cordialement

fm_31 · September 2017

"tu vas démontrer que les deux triangles IFE et EFC sont semblables
en utilisant le relation de proportionnalité évoquée ci-dessus"

$\frac{EA}{EC} = \frac{BA}{BC}$

$\frac{IF}{IC} = \frac{BF}{BC}$

Mais après ?