Une tangente "coupe-t-elle" le cercle ?

Dom
Dom
dans Géométrie
Bonjour à tous,

Je vois de plus en plus d'ouvrages où on y lit que la tangente à un cercle « coupe le cercle en un seul point ».
Je me suis toujours refusé à dire que ces objets se coupaient (est-ce personnel et sans fondement ?).
Cependant je ne crois pas que cela doit être pénalisé par des profs, mon fil s'intéresse davantage aux mouches qu'à autre chose.

Pour moi, c'est "comme" dire que dans un triangle ABC, les segment [AB] et [BC] se coupent.
C'est moche !

Quelques avis ?

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    La tangente rencontre le cercle en un seul point. Comme son nom le dit, elle le touche.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    ´être sécant' est plus précis que ´se couper' en géométrie. Ceci dit, si on cherche à parler simplement, alors se couper est acceptable et correct. Et que tu aimes ou pas, une droite tangente à un cercle le coupe en un point (et un seulement). Deux ensembles se coupent si leur intersection est non vide : ceci pourrait être la définition. Non ?
    Si c'est l'esthétique du verbe ´se couper' qui te gêne, utilise sécant...
    On utilise aussi en physique 'se toucher' : la tangente touche le cercle... les cotes d'un triangle se touchent... mais est-ce plus esthétique ?
  • Louis Le Goff
    Louis Le Goff
    Bonjour,
    On m'a appris, il y a bien longtemps , qu'une tangente coupe le cercle en deux points confondus.
    C'est très utile pour beaucoup de raisonnements géométriques
    Amicalement
    Louis
  • Amathoué
    Amathoué
    @Louis Le Goff,

    Hmm...pour introduire la dérivée d'une fonction en un point par la limite d'un taux d'accroissement en classe de première, c'est une façon de voir un peu dangereuse non?
  • Dom
    Dom
    Je comprends bien vos interventions.
    Ma réticence est purement personnelle, j'en conviens.
    Je vous en remercie.

    Le message de @Louis Le Goff est une idée à laquelle j'avais pensé.
    Dans une démonstration, on peut très bien avoir affaire à une droite passant par un point d'un cercle, a priori sécante (en deux points) au cercle.
    Puis, des raisonnements peuvent conduire à ce que les deux points soient confondus.
    On en conclut que c'est la tangente au premier point considéré.

    Le terme intersection est le plus précis : ici c'est un singleton.

    Bon.
    L'expression de @Chaurien me va bien : la droite rencontre le cercle.

    Merci encore.
  • omega
    omega
    J'entends de plus en plus de gens dire : "A et B s'intersectent". Le verbe s'intersecter n'existe pas en français et personnellement, je trouve cet anglicisme très laid...
    Comme l'a déjà dit YvesM, j'utilise le verbe se couper pour dire que deux ensembles ont une intersection non vide.
    Ainsi, ça ne me gêne pas de dire qu'une droite et une tangente se coupent en un point.
  • roumegaire
    roumegaire
    "ont un seul point d'intersection" c'est bien aussi, et ça se généralise plus facilement à 2 points ou aucun point, non ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Il y a plusieurs points de vue pour la réponse.
    Si l'on se contente du point de vue ensembliste, effectivement deux ensembles « se coupent » selon un ensemble qui est, justement, leur intersection.
    Mais la géométrie, ce sont aussi des figures. La tangente à une courbe touche cette courbe en son point de contact, et peut d'ailleurs la recouper en d'autres points. Le mot tangente vient du latin tango qui veut dire toucher. Au XVIIème siècle, on écrivait parfois « touchante » pour « tangente ».
    Chacun choisit comme il veut. Si l'on ne veut pas dire « touche » on peut dire « rencontre ». En tout cas moi je n'écrirai jamais qu'une tangente à un cercle coupe ce cercle, ni que la tangente à une courbe coupe cette courbe en son point de contact.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.67380
  • Amathoué
    Amathoué
    Conclusion de la capture : Roger est un bon causeur.
  • Le Lui ou un Autre
    Le Lui ou un Autre
    En remontant encore plus loin, Euclide définissait une tangente à un cercle comme une droite « touchant » ($\alpha\pi\tau\omega$) un cercle sans le « couper » ($\tau\epsilon\mu\nu\omega$).
    Je pense que la réticence à dire qu'une tangente "coupe" une courbe vient de la représentation physique que l'on peut se faire des objets géométriques : dans la vie, un couteau qui suit la trajectoire d'une tangente ne risque pas de couper une orange. Il faut généralement une intersection transversale pour effectivement couper (dans le sens usuel) un objet.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    On est plus au temps d'Euclide et la notion de tangente à une courbe a une définition mathématique précise qu'on applique, point barre.
    Comme il se trouve que cette définition est hors de portée de nos collégiens et sans doute de nos lycéens, on est bien obligé d'en passer par des considérations intuitives de géométrie contemplative, la seule qui nous reste d'ailleurs aujourd'hui!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Jicéherre
    Jicéherre
    Bonjour,
    il y a une définition à respecter en ayant compris la portée des définitions.

    Une "traversante" n'a qu'un point commun (localement) avec une courbe
    une "touchante" n'a qu'un point commun avec sa courbe
    Il faut donc bien éviter cette considération de point unique pour définir/distinguer les deux cas

    certes du point de vue des ensembles c'est une intersection mais ce terme conduit à section, sécante!
    les approximations de langage ne vont pas aider les étudiants à progresser
    salutations
  • soland
    soland
    Mes souvenirs d'analyse sont lointains.
    Une bonne âme complétera peut-être ce qui suit.

    La définition de la tangence fait intervenir les voisinages du point de contact,
    le vocabulaire devrait convoyer l'idée que la tangente approxime la courbe au
    voisinage de ce point.
    Pour moi la meilleure formulation est
    "La droite D touche la courbe C au point t ."

    De mon point de vue "coupe" est à bannir.
  • Dom
    Dom
    Tiens ?! Que penser de la tangente $T$ en $O(0;0)$ à la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ définie pour tout $x$ réelle par : $f(x)=x^3$ ?
    C'est un cas où ça irait à tout le monde de dire « $T$ est tangente et sécante à $C$. ».

    Ça n'amuse que les gens comme nous (moi) ;-)
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Dom
    La tangente au point $O(0,0)$ à la courbe $C$ d'équation $y=x^3$ est une tangente d'inflexion comme chacun sait. Elle touche la courbe au point $O$, et elle traverse ladite courbe.
    La tangente au point $A(1,1)$ à la courbe $C$ d'équation $y=x^3$ touche la courbe au point $A$, et elle recoupe cette courbe au point $B(-2,-8)$.
    Il y a aussi des tangentes qui touchent une courbe en plusieurs points. C'était un exercice que je posais naguère : « Trouver la droite bitangente à la courbe d'équation : $y=x^4+2x^3-2x^2+2x+1$, et les coordonnées des points de contact ». « Point de contact » : encore un mot relatif aux tangentes...
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Chaurien: $\dfrac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$ et $y=5x-\dfrac{5}{4}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • df
    df
    "Dans le calcul différentiel on prend la dérivée, dans le calcul intégral on prend la primitive... Et ceux qui discutent au fond de la classe vont prendre la tangente !"
    Monsieur C.

    (mon prof d'économie au lycée)
    ...
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Dans les bons cas, remplacer une courbe par sa tangente au voisinage de son point de contact, cela s'appelle faire un développement limité à l'ordre $1$.
    Evidemment c'est moins glorieux que de philosopher sur les touchantes et les sécantes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
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