Aires dans un triangle

Bonjour,

On peut paramétrer avec les hauteurs issues de C et de P sur le segment AB : le rapport des hauteurs vaut 10. On fait de même avec les hauteurs issues de B et de P sur le segment AC : le rapport vaut 10.
On utilise THALES pour le rapport AN/AC : trouve-t-on 10 ? De même pour le rapport AM/AB.
L'aire d'un parallélogramme est base fois hauteur.
On écrit le rapport recherché et on trouve... 50, non ?

Bonjour
L'exercice est trivial si on sait que les coordonnées barycentriques normalisées de $P$ son:
$$\Big(\dfrac{\mathrm{Aire}(PBC)}{\mathrm{Aire}(ABC)},\dfrac{\mathrm{Aire}(PCA)}{\mathrm{Aire}(ABC)},\dfrac{\mathrm{Aire}(PAB)}{\mathrm{Aire}(ABC)}\Big)$$
Ainsi on a immédiatement:
$P(\dfrac 8{10},\dfrac 1{10},\dfrac 1{10})$,
$M(\dfrac 9{10},\dfrac 1{10},0)$,
$N(\dfrac 9{10},0,\dfrac 1{10})$
Ainsi $\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AN}}{\overline{AC}}=\dfrac 1{10}$
Ceci prouve que:
$\dfrac{\mathrm{Aire}(AMN)}{\mathrm{Aire}(ABC)}=\dfrac 1{100}$
puis que:
$\dfrac{\mathrm{Aire}(AMPN)}{\mathrm{Aire}(ABC)}=\dfrac 1{50}$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Comme la donnée est affine, on modifie un peu la figure de pappus et on compte les carrés

Théorème de Pick.