Projecteur (bis)

pappus · September 2017

Bonjour
Soit $n\in \N^*$ et soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\C)$.
On pose:
$$S=\sum_{g\in G}g\in M_n(\C)$$
Montrer que $\mathrm{Trace}(S)=0$ entraine $S=0$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Utilisateur anonyme · September 2017

Bonjour Pappus,

sauf erreur, $p=\dfrac{1}{\vert G\vert} S$ est un projecteur, de trace nulle par hypothèse. Or, le rang d'un projecteur étant égal à sa trace, $p$ est de rang nul, i.e. $p=0$, d'où $S=0$.

Utilisateur anonyme · September 2017

Démo du fait que $p$ est un projecteur:

$$\displaystyle p^2=\frac{1}{\vert G\vert^2}\sum_{g,h}gh=\frac{1}{\vert G\vert^2}\sum_g(\sum_h gh)=\frac{1}{\vert G\vert^2}\sum_g(\sum_h h)=\frac{\vert G\vert }{\vert G\vert^2}\sum_h h=p,$$ la troisième égalité provenant du fait que la multiplication à gauche par $g$ dans $G$ est une bijection de $G$ sur lui-même.

pappus · September 2017

Merci NormalienAsperger
Bien sûr!
Ce n'était pas très difficile!
En fait la seule difficulté est de montrer que $p$ est un projecteur.
Je détaille donc ta solution pour les incrédules.
Soit $h\in G$. L'application $g\mapsto hg$ est une permutation de $G$ et de même pour $g\mapsto gh$.
Donc
$$hS=\sum_{g\in G}hg=\sum_{\gamma\in G}\gamma=S=Sh$$
Par suite: $S^2=\vert G\vert .S$
montrant que $p=\dfrac 1{\vert G\vert}S$ est un projecteur.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cet exercice est juste un petit bonjour amical aux algébristes qui viennent nous rendre visite!

Math Coss · September 2017

L'annulation de $S$ signifie que $\C^n$ ne contient pas la représentation triviale de $G$ ; autrement dit, l'intersection des noyaux des $g-\mathrm{id}$ est triviale.

Projecteur (bis)

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