Trapèze

Bonsoir Xilyas72
C'est faux pour un trapèze en général et a fortiori pour un quadrilatère quelconque.
Il serait donc intéressant de caractériser les quadrilatères pour lesquels un tel point existe.
Il est clair par exemple que les parallélogrammes en font partie mais aussi les quadrilatères invariants dans une symétrie affine par rapport à une de leurs diagonales.
Voir la figure ci-dessous, le point $O$ est le milieu de la diagonale $BD$, axe de la symétrie affine fixant $B$ et $D$ et échangeant $A$ et $C$.
Il y en a peut-être d'autres.
Remarquons que le cadre de ce problème est la géométrie affine.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous,

j'en suis là:

Soit $Q$ l'ensemble des quadrilatères qui ont la propriété désirée.
1) Pour qu'un trapèze appartienne à $Q$, il faut et il suffit qu'il soit un parallèlogramme.
2)Tout quadrilatère dont deux sommets opposés sont équidistants de la diagonale qui ne les joint pas appartient à $Q$, le point $O$ étant alors le mileu d'icelle.
3)Il existe dans $Q$ des quadrilatères dont le $O$ n'appartient à aucune diagonale. En effet:

Soient deux droites $d_1$ et $d_3$ sécantes en $O$, $B$ hors d'elles, $d_{1B}$ (resp.$d_{3B}$) la parallèle menée de $B$ à $d_1$ (resp. $d_3$), $d'_{1B}$ (resp.$d'_{3B}$) sa symétrique par rapport à $O$ et enfin $D$ l'intersection de ces dernières.
Pour tout $A$ de $d_1$ (resp. $C$ de $d_3$), les aires de $OAB$ et $OAD$ (resp.$OCB$ et $OCD$) sont égales.
Soit $A$ ("fixé") sur $d_1$ et $a$ l'aire de $OAB$ (et donc aussi de $OAD$).
Lorsque $C$ se déplace depuis $O$ sur une demi droite portée par $d_3$ l'aire de $OCB$ (qui est celle de $OCD$) croît continuement de $0$ à l'infini et passe donc une fois et une seule par $a$.
Ainsi, pour tout $A$ sur $d_1$, il existe exactement deux points $C_1$ et $C_2$ sur $d_3$ tels que $ABCD$ appartient à $Q$.

Tout ça pour dire qu'il n'y a pas "peut-être" mais sûrement des quadrilatères dans $Q$ non triviaux.

Euh, bien des sottises je crains!

Amicalement
Paul

Edit

Soit $\;$Q = (oabc)$\;$ un tel quadrilatère; on peut supposer que la diagonale ob sépare a et c .
Le lieu des x tels que $\;$|xoa| = |xoc|$\;$ est l'axe de la symétrie affine qui fixe o et échange a et c,
à l'exception du point o : si $\;$x = o$\;$ alors Q dégénère. Donc b$\neq$o est sur cet axe.
Si x est intérieur à $\;$(oabc)$\;$ et que $\;$|oxa| = |bxa|$\;$ alors $\;$|ox| = |bx|$\;$.

Q est donc symétrique (affinement) relativement à l'une de ses diagonales et le point cherché en est le milieu.