aire d'un quadrilatère
dans Géométrie
Bonsoir ou bonne nuit à tous,
Soit un quadrilatère convexe ABCD, E et F les projetés orthogonaux des sommets A et B sur la droite portant le côté CD.
Comment prouver que l'aire de ABCD est égale à la somme des aires des triangles ADF et BCE ?
Voir la figure dans le fichier joint.
J'ai une solution qui passe par un calcul analytique, voir le fil récent "Aire d'un triangle", mais j'aimerais bien comprendre ce qui se passe au niveau purement géométrique.
Merci de vos indications.
Bien cordialement.
[Contenu du fichier ggb joint. AD]
Soit un quadrilatère convexe ABCD, E et F les projetés orthogonaux des sommets A et B sur la droite portant le côté CD.
Comment prouver que l'aire de ABCD est égale à la somme des aires des triangles ADF et BCE ?
Voir la figure dans le fichier joint.
J'ai une solution qui passe par un calcul analytique, voir le fil récent "Aire d'un triangle", mais j'aimerais bien comprendre ce qui se passe au niveau purement géométrique.
Merci de vos indications.
Bien cordialement.
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Réponses
En notant l'aire d'un polygone comme ce polygone:
$ADCB=DAF+AFB+FBC$ et
$DAF+BEC=DAF+(EFB+FBC)$
Or $EFB=AFB$ car $(AE)$ et $(FB)$ sont parallèles.
Donc $ADCB=DAF+BEC$.
Cela demeure dès que $(AE)$ et $(BF)$ sont parallèles, ne seraient-elles pas orthogonales à $CD$.
Amicalement
Paul
Merci AD pour la manip que je n'ai pas encore apprise ...
Merci Paul pour cette explication lumineuse et simplissime ! Il est vrai que je n'avais guère pris le temps de chercher de mon côté ...
Bien amicalement
Jean-Louis
cette preuve ne fonctionne pas.
Le théorème non-plus.
Il suffit alors de remplacer aire par aire algébrique pour que tout rentre dans l'ordre, du moins je l'espère!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je sais.
Amicalement, soland.
"Si les segments [AB] et [EF] n'ont pas de points communs", écris-tu.
Sans doute veux-tu dire, d'après ta figure, les segments CD et EF ?
Et dans ce cas, comme le dit Pappus ...
Merci à vous deux pour ces précisions ...
Bien cordialement
A titre d'illustration de vos messages, je joins une deuxième figure, où l'on voit qu'en effet, si l'on veut être le plus général possible, il est indispensable de considérer les aires algébriques chères à Pappus !
Bon, il va falloir que je m'en farcisse la cervelle !
Merci de me pousser à creuser plus profond !
Bien amicalement
Jean-Louis.
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