Déterminant1

Bonjour Pappus,

Aller je tente au hasard : $ b^{n-2} c (2a-c)$. ... c'est pas ça que je voulais dire.

On remplace $a$ par une indéterminée $x$ et on voit les choses comme polynôme caractéristique d'une matrice et ensuite on regarde les valeurs propres $b$ et $c$ sont valeurs propres avec multiplicité $(n-2)$ et $1$ et via la trace on trouve l'autre $\alpha := -(c+(n-2)b$.

On récupère les choses $ (-1)^n (a-b)^{n-2}(a-c)(a-\alpha)$.

Il y a un petit problème dans mon truc. Je vais réfléchir un peu sorry Pappus.

Bonjour,

$(a-b)^{n-3}(a-c)\left(a^2+(n-3)ab+ca-(2n-4)b^2+(n-3)bc\right)$.

Cordialement,

Rescassol

$$S_{det}(z)=1+{\frac {az- \left( {a}^{2}-2\,ab+{c}^{2} \right) {z}^{2} -\left( b-c \right) \left( ab+ac-2\,cb \right) {z}^{3}}
{ (1+ \left( b-a \right) z)^2}}$$

$$S_\chi(z)={\frac {1+ \left( a-2\,b-x \right) z + \left( b-c \right) \left( b+c \right) {z}^{2}+\left( b-c \right) \left( ab+ac-2\,cb-bx-cx \right) {z}^{3}}
{ \left(1+ (a-b-x)z \right) ^{2}}}
$$

PS: le degré en $z$ est exactement la taille de la matrice.
Edit: $S_\chi $ décrit les polynômes caractéristiques unitaires, et donc $x=0$ donne des signes alternés pour le déterminant, par rapport à $S_{det}$.

Quant au lien entre la géométrie et le calcul d'un volume...

Soit $n=m+2$, $C=\left[\begin{array}{cc}a&c\\c&a\end{array}\right]$, $J_m=(1)_{1\leq i,j\leq m},$ $A=(a-b)I_m+bJ_m$, $J_{2,m}=(1)_{1\leq i\leq 2; 1\leq j\leq m}$ et $B=bJ_{2,m}.$ On demande
$$\det\left[\begin{array}{cc}A&B\\B^T&C\end{array}\right]=\det A\times \det (C-BA^{-1}B^T)$$ Les valeurs propres de $J_m$ etant $m$ et $0^{m-1},$ on a $\det A=(a-b+bm)(a-b)^{m-1}.$ Ensuite
$A^{-1}=xI_n+yJ_m$ avec $x=1/(a-b)$ et $y=-b/[(a-b)(a-b+bm)]$ et $BA^{-1}B^T=zJ_2$ avec $z=b^2m(x+my)$. Donc $\det (C-BA^{-1}B^T)=(a-c)(a+c-2z).$ Cela donne la formule de Rescassol qu'il est inutile de recopier.

Pappus,

Je vois mon erreur.

Donc on interprète $D$ comme $\chi_{M(0)}(-a)$ avec $M(0)$ la matrice obtenu en remplaçant $a$ par $0$. Donc l'idée est de calculer le polynôme caractéristique de $M(0)$ en utilisant ses valeurs propres. [juste l'idée que je veux mettre en place].

Clairement $-b$ est valeur propre d'ordre au moins $n-3$ (et non pas $n-2$ comme j'ai dis). D'autre part, $-c$ est valeur propre d'ordre au moins $1$.

Et il nous manque (éventuellement) deux valeurs propres. Bon l'idée étant de les récupérer en utilisant la trace et le déterminant de $M(0)$, je suis a peu près convaincu que ça va me donner le résultat. Reste a mettre ça en pratique.

Notons $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les éventuelles valeurs propres manquante : Alors
$$ \chi_{M(0)}(X) = (-1)^n(x+b)^{n-3} (x+c) (x^2 - (\lambda_1+\lambda_2)x + \lambda_1 \lambda_2)$$
Pour déterminer la somme $\lambda_1+\lambda_2$, on utilise que la trace de $M(0)$ est nulle et vaut également la somme des valeurs propres de $M(0)$. On trouve : $\lambda_1+\lambda_2 = (n-3)b+c$
Pour déterminer le produit $\lambda_1 \lambda_2$. On va calculer le déterminant de $M(0)$ et utiliser
$$
\lambda_1 \lambda_2 = (-1)^n\frac{\text{Det}(M(0))}{(-b)^{n-3} (-c)}
$$
Reste à déterminant le déterminant de $M(0)$.

Me reste à évaluer le déterminant de $M(0)$.

Ps / C'est un peu lourd mon truc (td) et je vais peut être changer de point de vue.

mon cher pappus.

Je ne crois pas que ce soit une bonne idée de relancer le troll. Il trouvera bien d'autres discussions à encombrer.

Cordialement, Pierre.

Bonjour Pappus
Pour l'algorithme de Sister Celine, voir ICI le remarquable livre $A=B$ de Petkovsek, Wilf et Zeilberger (pages $55+$).
Amicalement. Poulbot

@pappus.
Nos messages se sont croisés (ta solution géométrique, et ma conclusion à partir l'exemple $n=7$). Une fois que l'on a la matrice résiduelle $2\times2$, on peut calculer
$$ S_1= \sum _{n=2}^{\infty } \; z^n \; \left| \begin {array}{cc}
a+c& \left( n-2 \right) b \\ 2\,b&a+ \left( n-3 \right) b\end {array} \right|
=\frac { \left( \left( a+c \right) \left(a-b \right) {z}^{2} - \left( {a}^{2}-2\,ab+ac+2\,{b}^{2}-2\,cb \right) {z}^{3} \right) }
{ \left(1- z \right) ^{2}}
$$

Il reste à ajouter $n$ facteurs $a-b$ par la substitution $z\mapsto z(a-b)$, puis à en enlever $3$ par une division et à multiplier par $a-c$. Et enfin, ajouter $1+az$ pour avoir les "petits cas". Cela donne:

$$
S_{det}(z)= 1+az+ {\frac { \left( a-c \right) {z}^{2} \left(a+c - \left( {a}^{2}-2\,ab+ac+2\,{b}^{2}-2\,cb \right) z \right)}
{ \left( 1- \left(a -b \right) z \right) ^{2}}}
$$

On peut aussi utiliser gfun (Salvy, B., and Zimmermann, P.) qui implémente l'algorithme de Sister Celine... et la série génératrice tombe toute cuite.

Cordialement, Pierre.

Pourquoi chercher la serie generatrice de $(An+B)C^n?$

Pappus a écrit:

Quel serait alors pour toi le sujet idéal d'une discussion de géométrie?

Des théorèmes avec que des histoires de droites (le tout projectivement), rien que des droites :-D Je réponds car tu me demandes, mais je n'ai aucunement la revendication de vous embêter et d'influer sur vos gouts.

Bonjour,

Tu crois: $a^5 - 9a^3b^2 - a^3c^2 + 14a^2b^3 + 6a^2b^2c - 6ab^4 - 12ab^3c + 3ab^2c^2 + 6b^4c - 2b^3c^2$ ?

Cordialement,

Rescassol

Bonjour

oui avec n=5 on voit mieux

on sait donc que

$det(M)=a^n-a^{n-2}c^2+(-1)^n.(2n-4).(ab^{n-1}-cb^{n-1})+...$ un reste

Gai requin : Perso j'avais additionné la colonne $1$ avec la colonne $n$ pour simplifier. Mais je n'ai pas réussie a retrouver le résultat (j'ai un problème de signe a un moment).

Pour l'anecdote, en caractéristique $2$, les valeurs propres sont $a-b$ (de multiplicité $n-3$), $a-c$ (de multiplicité $2$) et $a+b(n+1)$ (qui vaut $a-b$ ou $a$ selon la parité de $n$).

?

Bonjour,

Et si $a$ et $b$ ont le malheur d'être égaux ?

Cordialement,

Rescassol

@Rescassol :
Soit $a\neq 0$.
Si $a=b$, l'image de $f$ est l'ensemble des endomorphismes symétriques.
Si $a=-b$, cette image est l'ensemble des endomorphismes antisymétriques.

La cas $a=b=0$ n'est pas très intéressant.

@pappus :
Je note la version matricielle de $f$ mais il faut se méfier de la caractéristique $2$ comme de la peste. ;-)

Bonne soirée.