Merci Soland pour ce bel exercice d'optimisation.
Il me semble qu'on en a déjà parlé ici dans le passé!
Est-ce vraiment plus difficile si on déforme un quadrilatère quelconque?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
J'essaye pour le moment de mettre ce problème en équation.
On part d'un quadrilatère plan déformable $ABCD$ avec: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$.
On déforme dans l'espace ce quadrilatère pour obtenir un tétraèdre de volume $V$.
On a:
$$\pm 6V=[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}]=[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}]$$
Donc:
$$\pm 6V=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}]$$
On pose:
$u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{BC}$, $w=\overrightarrow{CD}$.
On a: $\overrightarrow{AD}=u+v+w$
Pour chercher les extrema de $V$, on est donc amené à optimiser le produit mixte $[u,v,w]$ avec les contraintes:
$\langle u\vert u\rangle=a^2$, $\langle v\vert v\rangle=b^2$,$\langle w\vert w\rangle=c^2$ et $\langle u+v+w\vert u+v+w\rangle=d^2$.
C'est donc un problème d'extrema liés.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
On doit optimiser la fonction:
$f(u,v,w)=[u,v,w]$ avec les contraintes:
$g_1(u)=\langle u\vert u\rangle=a^2$
$g_2(v)=\langle v\vert v\rangle=b^2$
$g_3(w)=\langle w\vert w\rangle=c^2$
La dernière contrainte s'écrit:
$g_4(u,v,w)=\langle v\vert w\rangle+\langle w\vert u\rangle+\langle u\vert v\rangle=\dfrac{d^2-a^2-b^2-c^2}2$
Par acquit de conscience, je rappelle l'écriture des différentielles intervenant dans ce calcul:
1° $df(u,v,w)(h,k,l)=[h,v,w]+[u,k,w]+[u,v,l]=\langle v\wedge w\vert h\rangle+\langle w\wedge u\vert k\rangle+\langle u\wedge v\vert l\rangle$
2°$dg_1(u)(h)=2\langle u\vert h\rangle$
3°$dg_2(v)(k)=2\langle v\vert k\rangle$
4°$dg_3(w)(l)=2\langle w\vert l\rangle$
5°$dg_4(u,v,w)(h,k,l)=\langle v+w\vert h\rangle +\langle w+u\vert k\rangle +\langle u+v\vert l\rangle$
Il y a donc $4$ multiplicateurs de Lagrange:
On doit écrire que pour tout triplet de vecteurs $(h,k,l)$, on a:
$$[h,v,w]+[u,k,w]+[u,v,l]\equiv \lambda_1\langle u\vert h\rangle+\lambda_2\langle v\vert k\rangle+\lambda_3\langle w\vert l\rangle+\lambda_4(\langle v+w\vert h\rangle+\langle w+u\vert k\rangle+\langle u+v\vert l\rangle)$$
On tombe alors sur le système suivant (SGDG):
$v\wedge w=\lambda_1u+\lambda_4(v+w)$
$w\wedge u=\lambda_2v+\lambda_4(w+u)$
$u\wedge v=\lambda_3w+\lambda_4(u+v)$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci Soland
Je sais depuis longtemps maintenant que tu es fasciné par ces déterminants.
Il serait intéressant que tu précises ton idée pour qu'on puisse la comparer avec la mienne si elle est exacte.
Il reste en effet à résoudre mes équations.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci Soland
Il faudrait faire le joint entre nos deux méthodes et j'avoue bien franchement que pour le moment, j'ai la flemme de le faire!
Je poursuis donc ma propre idée en espérant ne pas m'être trompé dans mes équations données par le calcul différentiel.
J'aimerais bien avoir quelques critiques
Le système sur lequel je suis tombé m'amène à poser la question naturelle suivante, intéressante en elle même:
Dans un espace vectoriel $E$, euclidien orienté de dimension $3$, quelle est la matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour Pappus "Dans un espace vectoriel $E$, euclidien orienté de dimension $3$, quelle est la matrice de passage de la base $\left( u,v,w\right) $ à la base $\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge v\right) $ ?
$\dfrac{G\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge w\right) }{\left[ u,v,w\right] }=\left[ u,v,w\right] G\left( u,v,w\right) ^{-1}$ où $G$ est la matrice de Gram.
Merci Poulbot
J'ai posé cette question parce que les relations de Lagrange au point critique disent exactement que la matrice:$\begin{bmatrix}
\lambda_1&\lambda_4&\lambda_4\\
\lambda_4&\lambda_2&\lambda_4\\
\lambda_4&\lambda_4&\lambda_3
\end{bmatrix}
$ est la matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Re-bonjour Pappus et merci
Une petite explication :
si $\omega =\left( u\cdot u\right) v\wedge w+\left( u\cdot v\right) w\wedge u+\left( u\cdot w\right) u\wedge v-\left[ u,v,w\right] u$, on a $\omega \cdot u=\omega \cdot v=\omega \cdot w=0$, donc $\omega =0$. On a $2$ autres relations analogues.
Ainsi la matrice de passage de $\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge v\right) $ à $\left( u,v,w\right) $ est $\dfrac{G\left( u,v,w\right) }{\left[ u,v,w\right] }$.
Amicalement. Poulbot
Une autre explication qui doit revenir au même. On fixe une b.o.n. et on note $M(u,v,w)$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs $u,v,w$ dans cette b.o.n.. On a
$$M(u,v,w)^{\mathsf{T}}\, M(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v) = [u,v,w]\,I_3\;.$$
La matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$ est donc
$$M(u,v,w)^{-1}\,M(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)=[u,v,w]\,M(u,v,w)^{-1}\,M(u,v,w)^{\mathsf{-T}}=[u,v,w]\,G(u,v,w)^{-1}\;,$$
où $G$ est la matrice de Gram.
Merci à Poulbot et GaBuZoMeu!
Effectivement apparaît la matrice de Gram des vecteurs $(u,v,w)$ et ce qui semblait être un problème de géométrie se transforme en un exercice d'algèbre linéaire.
Grâce à Poulbot et GaBuZoMeu, nous connaissons maintenant la valeur des multiplicateurs de Lagrange mais comment continuer?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
Le tétraèdre critique sera parfaitement connu à une isométrie près, si on exhibe la matrice de Gram $G(u,v,w)$.
De cette matrice, on connait les éléments diagonaux:
$\langle u\vert u\rangle =a^2$, $\langle v\vert v\rangle =b^2$, $\langle w\vert w\rangle =c^2$
Il reste à déterminer ses éléments non diagonaux:
$x=\langle v\vert w\rangle$, $y=\langle w\vert u\rangle$, $z=\langle u\vert v\rangle$
Les relations de Lagrange donnent en particulier:
$\lambda_4=\dfrac{yz-a^2x}{[u,v,w]}=\dfrac{zx-b^2y}{[u,v,w]}=\dfrac{xy-c^2z}{[u,v,w]}$
c'est à dire les deux équations:
$$yz-a^2x=zx-b^2y=xy-c^2z$$
auxquelles il faut rajouter:
$$x+y+z=\dfrac{d^2-a^2-b^2-c^2}2$$
On est ainsi ramené à discuter de l'intersection de deux coniques et on sait que ce n'est jamais très drôle!
Cependant si je ne dis pas de bêtises, pour des raisons topologiques de compacité (à trouver?), il devrait exister un maximum et un minimum et donc des points d'intersection réels.
J'arrête là ce que j'ai à dire sur le problème général pour des raisons de paresse congénitale mais il serait intéressant de continuer les calculs qui devraient se simplifier dans le cas particulier imaginé par Soland:
$a=c$ et $b=d$ et de faire ainsi le joint entre nos deux méthodes.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour Pappus
Dans le cas envisagé par Christoph $\left( a=c,b=d\right) $,
$yz-a^{2}x=xy-a^{2}z$ donne $z=x$ ou $y=-a^{2}$; mais $y=-a^{2}$ donne $w=-u$ (volume nul, évidemment minimal).
Pour le maximum, on a donc $z=x$ et $3x^{2}+2\left( a^{2}+b^{2}\right) x+a^{2}b^{2}=0$. Mais, puisque $a^{2}+b^{2}+2x=\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}>0$, il faut prendre pour $x$ la plus grande racine.
Finalement $x=z=\dfrac{1}{3}\left( -a^{2}-b^{2}+\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}\right) $ et
$AC^{2}=BD^{2}=a^{2}+b^{2}+2x=\dfrac{1}{3}\left( a^{2}+b^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}\right) $.
Je laisse le soin à qui en aurait envie de calculer le volume correspondant.
Le cas général (que je n'ai pas eu le temps de regarder de près) conduit à des équations de degré $4$.
Amicalement. Poulbot
Merci Poulbot d'avoir fait le lien avec les calculs de Soland.
Dans le fil que j'avais ouvert par provocation sur les déterminants, un algébriste se plaignait que ce fil avait trop duré et je lui avais répondu que le résultat importait peu mais qu'il fallait exposer le plus de méthodes possibles pour y arriver.
C'est aussi le cas de ce joli problème initié par notre ami Soland
.Il reste donc à analyser sa solution via les déterminants de Cayley-Menger.
On peut déjà dire qu'elle est un peu moins élémentaire que la mienne puisqu'il faut connaitre ces fameux déterminants mais aussi plus facile puisqu'on tombe sur un problème d'optimisation portant sur deux variables indépendantes.
Il existe peut-être une troisième solution basée sur un calcul élémentaire du volume et j'ai le vague souvenir qu'on en avait déjà parlé dans le passé.
Remarquons enfin qu'il est impensable de proposer ce problème à la sagacité de nos Capésiens et de nos Agrégatifs, vu l'état lamentable pour ne pas dire le Néant dans lequel est tombé chez nous l'enseignement de la géométrie.
Et s'il faut vraiment leur faire calculer des déterminants, il vaut mieux les cantonner à ceux du style de celui que je leur ai proposé ici même.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
I wrote "Je laisse le soin à qui en aurait envie de calculer le volume correspondant"
En fait, sauf erreur de ma part, le volume d'un tétraèdre isocèle ($4$ faces isométriques) dont $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'une face est $\dfrac{1}{3}\sqrt{S_{a}S_{b}S_{c}}$ où, as usual, $S_{a}=\dfrac{1}{2}\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) ,...$.
Dans le cas du problème de Soland, prendre $c^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}}{3}$ pour obtenir la valeur maximale du volume.
Amicalement. Poulbot
Nous avons déjà eu cette discussion, il y a cinq mois, sous le titre Tiges articulées, aire maximale. Si l'on place $B$ en $O$, $A$ sur $Ox$, $C$ sur $Oxy$, on voit les solutions se grouper par paquets de quatre, sous l'action de $y\mapsto -y$ et de $z\mapsto -z$. Et il y a des propriétés orthocentriques qui viennent se mêler de la conversation.
Bonjour
Si on s'intéresse à l'optimisation du volume algébrique, l'utilisation du produit mixte est pertinente mais le calcul des multiplicateurs de Lagrange est délicate, il y en avait 4 et avec mes notations, on avait:
$$6V=[u,v,w]$$
Si on s'intéresse seulement aux variations du volume géométrique, on peut utiliser directement la matrice de Gram et son déterminant le gramien:
$$36V^2=[u,v,w]^2=\det(G(u,v,w))=\begin{vmatrix}a^2&z&y\\z&b^2&x\\y&x&c^2\end{vmatrix}=a^2b^2c^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2+2xyz$$
avec $x=\langle v\vert w\rangle$, $y=\langle w\vert u\rangle$, $w=\langle u\vert v\rangle$ et $$u+v+w=\dfrac {d^2-a^2-b^2-c^2}2$$
Il n'y a plus qu'un multiplicateur de Lagrange et on obtient directement les relations au point critique:
$$yz-a^2x=zx-b^2y=xy-c^2$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Bien sûr, dans le cas général, il n'existe pas de formule simple (closed form) donnant le volume maximal mais j'ai l'intuition qu'il ne devrait pas être trop difficile de montrer en utilisant la méthode de Soland par les déterminants de Cayley-Menger, que ce volume maximal est invariant par le groupe des permutations de $(a,b,c,d)$
On élimine $z$, ce qui donne une équation en $V^2$ est de degré 4 et symétrique en $a,b,c,d$. Le résultat est un peu longuet, et les coefficients ne se factorisent pas, sauf le dernier: $$
-{s_{{1}}}^{2}{s_{{4}}}^{2} \left( {s_{{1}}}^{3}-4\,s_{{1}}s_{{2}}+8\,
s_{{3}} \right) ^{2} \left( {s_{{1}}}^{4}-4\,{s_{{1}}}^{2}s_{{2}}+8\,s
_{{1}}s_{{3}}-16\,s_{{4}} \right) ^{2}
$$
Réponses
Il me semble qu'on en a déjà parlé ici dans le passé!
Est-ce vraiment plus difficile si on déforme un quadrilatère quelconque?
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'essaye pour le moment de mettre ce problème en équation.
On part d'un quadrilatère plan déformable $ABCD$ avec: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$.
On déforme dans l'espace ce quadrilatère pour obtenir un tétraèdre de volume $V$.
On a:
$$\pm 6V=[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}]=[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}]$$
Donc:
$$\pm 6V=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}]$$
On pose:
$u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{BC}$, $w=\overrightarrow{CD}$.
On a: $\overrightarrow{AD}=u+v+w$
Pour chercher les extrema de $V$, on est donc amené à optimiser le produit mixte $[u,v,w]$ avec les contraintes:
$\langle u\vert u\rangle=a^2$, $\langle v\vert v\rangle=b^2$,$\langle w\vert w\rangle=c^2$ et $\langle u+v+w\vert u+v+w\rangle=d^2$.
C'est donc un problème d'extrema liés.
Amicalement
[small]p[/small]appus
On doit optimiser la fonction:
$f(u,v,w)=[u,v,w]$ avec les contraintes:
$g_1(u)=\langle u\vert u\rangle=a^2$
$g_2(v)=\langle v\vert v\rangle=b^2$
$g_3(w)=\langle w\vert w\rangle=c^2$
La dernière contrainte s'écrit:
$g_4(u,v,w)=\langle v\vert w\rangle+\langle w\vert u\rangle+\langle u\vert v\rangle=\dfrac{d^2-a^2-b^2-c^2}2$
Par acquit de conscience, je rappelle l'écriture des différentielles intervenant dans ce calcul:
1° $df(u,v,w)(h,k,l)=[h,v,w]+[u,k,w]+[u,v,l]=\langle v\wedge w\vert h\rangle+\langle w\wedge u\vert k\rangle+\langle u\wedge v\vert l\rangle$
2°$dg_1(u)(h)=2\langle u\vert h\rangle$
3°$dg_2(v)(k)=2\langle v\vert k\rangle$
4°$dg_3(w)(l)=2\langle w\vert l\rangle$
5°$dg_4(u,v,w)(h,k,l)=\langle v+w\vert h\rangle +\langle w+u\vert k\rangle +\langle u+v\vert l\rangle$
Il y a donc $4$ multiplicateurs de Lagrange:
On doit écrire que pour tout triplet de vecteurs $(h,k,l)$, on a:
$$[h,v,w]+[u,k,w]+[u,v,l]\equiv \lambda_1\langle u\vert h\rangle+\lambda_2\langle v\vert k\rangle+\lambda_3\langle w\vert l\rangle+\lambda_4(\langle v+w\vert h\rangle+\langle w+u\vert k\rangle+\langle u+v\vert l\rangle)$$
On tombe alors sur le système suivant (SGDG):
$v\wedge w=\lambda_1u+\lambda_4(v+w)$
$w\wedge u=\lambda_2v+\lambda_4(w+u)$
$u\wedge v=\lambda_3w+\lambda_4(u+v)$
Amicalement
[small]p[/small]appus
On trouve facilement que les "diagonales" doivent être égales.
Je sais depuis longtemps maintenant que tu es fasciné par ces déterminants.
Il serait intéressant que tu précises ton idée pour qu'on puisse la comparer avec la mienne si elle est exacte.
Il reste en effet à résoudre mes équations.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Maintenant que tu me dis cela, je suis à peu près sûr qu'on a déjà traité ce problème dans le passé!
Amicalement
[small]p[/small]appus
A tout hasard, voici quelques calculs.
Il faudrait faire le joint entre nos deux méthodes et j'avoue bien franchement que pour le moment, j'ai la flemme de le faire!
Je poursuis donc ma propre idée en espérant ne pas m'être trompé dans mes équations données par le calcul différentiel.
J'aimerais bien avoir quelques critiques
Le système sur lequel je suis tombé m'amène à poser la question naturelle suivante, intéressante en elle même:
Dans un espace vectoriel $E$, euclidien orienté de dimension $3$, quelle est la matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
"Dans un espace vectoriel $E$, euclidien orienté de dimension $3$, quelle est la matrice de passage de la base $\left( u,v,w\right) $ à la base $\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge v\right) $ ?
$\dfrac{G\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge w\right) }{\left[ u,v,w\right] }=\left[ u,v,w\right] G\left( u,v,w\right) ^{-1}$ où $G$ est la matrice de Gram.
Amicalement. Poulbot
J'ai posé cette question parce que les relations de Lagrange au point critique disent exactement que la matrice:$\begin{bmatrix}
\lambda_1&\lambda_4&\lambda_4\\
\lambda_4&\lambda_2&\lambda_4\\
\lambda_4&\lambda_4&\lambda_3
\end{bmatrix}
$ est la matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une petite explication :
si $\omega =\left( u\cdot u\right) v\wedge w+\left( u\cdot v\right) w\wedge u+\left( u\cdot w\right) u\wedge v-\left[ u,v,w\right] u$, on a $\omega \cdot u=\omega \cdot v=\omega \cdot w=0$, donc $\omega =0$. On a $2$ autres relations analogues.
Ainsi la matrice de passage de $\left( v\wedge w,w\wedge u,u\wedge v\right) $ à $\left( u,v,w\right) $ est $\dfrac{G\left( u,v,w\right) }{\left[ u,v,w\right] }$.
Amicalement. Poulbot
$$M(u,v,w)^{\mathsf{T}}\, M(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v) = [u,v,w]\,I_3\;.$$
La matrice de passage de la base $(u,v,w)$ à la base $(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)$ est donc
$$M(u,v,w)^{-1}\,M(v\wedge w, w\wedge u, u\wedge v)=[u,v,w]\,M(u,v,w)^{-1}\,M(u,v,w)^{\mathsf{-T}}=[u,v,w]\,G(u,v,w)^{-1}\;,$$
où $G$ est la matrice de Gram.
Effectivement apparaît la matrice de Gram des vecteurs $(u,v,w)$ et ce qui semblait être un problème de géométrie se transforme en un exercice d'algèbre linéaire.
Grâce à Poulbot et GaBuZoMeu, nous connaissons maintenant la valeur des multiplicateurs de Lagrange mais comment continuer?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le tétraèdre critique sera parfaitement connu à une isométrie près, si on exhibe la matrice de Gram $G(u,v,w)$.
De cette matrice, on connait les éléments diagonaux:
$\langle u\vert u\rangle =a^2$, $\langle v\vert v\rangle =b^2$, $\langle w\vert w\rangle =c^2$
Il reste à déterminer ses éléments non diagonaux:
$x=\langle v\vert w\rangle$, $y=\langle w\vert u\rangle$, $z=\langle u\vert v\rangle$
Les relations de Lagrange donnent en particulier:
$\lambda_4=\dfrac{yz-a^2x}{[u,v,w]}=\dfrac{zx-b^2y}{[u,v,w]}=\dfrac{xy-c^2z}{[u,v,w]}$
c'est à dire les deux équations:
$$yz-a^2x=zx-b^2y=xy-c^2z$$
auxquelles il faut rajouter:
$$x+y+z=\dfrac{d^2-a^2-b^2-c^2}2$$
On est ainsi ramené à discuter de l'intersection de deux coniques et on sait que ce n'est jamais très drôle!
Cependant si je ne dis pas de bêtises, pour des raisons topologiques de compacité (à trouver?), il devrait exister un maximum et un minimum et donc des points d'intersection réels.
J'arrête là ce que j'ai à dire sur le problème général pour des raisons de paresse congénitale mais il serait intéressant de continuer les calculs qui devraient se simplifier dans le cas particulier imaginé par Soland:
$a=c$ et $b=d$ et de faire ainsi le joint entre nos deux méthodes.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans le cas envisagé par Christoph $\left( a=c,b=d\right) $,
$yz-a^{2}x=xy-a^{2}z$ donne $z=x$ ou $y=-a^{2}$; mais $y=-a^{2}$ donne $w=-u$ (volume nul, évidemment minimal).
Pour le maximum, on a donc $z=x$ et $3x^{2}+2\left( a^{2}+b^{2}\right) x+a^{2}b^{2}=0$. Mais, puisque $a^{2}+b^{2}+2x=\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}>0$, il faut prendre pour $x$ la plus grande racine.
Finalement $x=z=\dfrac{1}{3}\left( -a^{2}-b^{2}+\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}\right) $ et
$AC^{2}=BD^{2}=a^{2}+b^{2}+2x=\dfrac{1}{3}\left( a^{2}+b^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}\right) $.
Je laisse le soin à qui en aurait envie de calculer le volume correspondant.
Le cas général (que je n'ai pas eu le temps de regarder de près) conduit à des équations de degré $4$.
Amicalement. Poulbot
Dans le fil que j'avais ouvert par provocation sur les déterminants, un algébriste se plaignait que ce fil avait trop duré et je lui avais répondu que le résultat importait peu mais qu'il fallait exposer le plus de méthodes possibles pour y arriver.
C'est aussi le cas de ce joli problème initié par notre ami Soland
.Il reste donc à analyser sa solution via les déterminants de Cayley-Menger.
On peut déjà dire qu'elle est un peu moins élémentaire que la mienne puisqu'il faut connaitre ces fameux déterminants mais aussi plus facile puisqu'on tombe sur un problème d'optimisation portant sur deux variables indépendantes.
Il existe peut-être une troisième solution basée sur un calcul élémentaire du volume et j'ai le vague souvenir qu'on en avait déjà parlé dans le passé.
Remarquons enfin qu'il est impensable de proposer ce problème à la sagacité de nos Capésiens et de nos Agrégatifs, vu l'état lamentable pour ne pas dire le Néant dans lequel est tombé chez nous l'enseignement de la géométrie.
Et s'il faut vraiment leur faire calculer des déterminants, il vaut mieux les cantonner à ceux du style de celui que je leur ai proposé ici même.
Amicalement
[small]p[/small]appus
I wrote "Je laisse le soin à qui en aurait envie de calculer le volume correspondant"
En fait, sauf erreur de ma part, le volume d'un tétraèdre isocèle ($4$ faces isométriques) dont $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'une face est $\dfrac{1}{3}\sqrt{S_{a}S_{b}S_{c}}$ où, as usual, $S_{a}=\dfrac{1}{2}\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) ,...$.
Dans le cas du problème de Soland, prendre $c^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}}}{3}$ pour obtenir la valeur maximale du volume.
Amicalement. Poulbot
Nous avons déjà eu cette discussion, il y a cinq mois, sous le titre Tiges articulées, aire maximale. Si l'on place $B$ en $O$, $A$ sur $Ox$, $C$ sur $Oxy$, on voit les solutions se grouper par paquets de quatre, sous l'action de $y\mapsto -y$ et de $z\mapsto -z$. Et il y a des propriétés orthocentriques qui viennent se mêler de la conversation.
Cordialement, Pierre.
Si on s'intéresse à l'optimisation du volume algébrique, l'utilisation du produit mixte est pertinente mais le calcul des multiplicateurs de Lagrange est délicate, il y en avait 4 et avec mes notations, on avait:
$$6V=[u,v,w]$$
Si on s'intéresse seulement aux variations du volume géométrique, on peut utiliser directement la matrice de Gram et son déterminant le gramien:
$$36V^2=[u,v,w]^2=\det(G(u,v,w))=\begin{vmatrix}a^2&z&y\\z&b^2&x\\y&x&c^2\end{vmatrix}=a^2b^2c^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2+2xyz$$
avec $x=\langle v\vert w\rangle$, $y=\langle w\vert u\rangle$, $w=\langle u\vert v\rangle$ et $$u+v+w=\dfrac {d^2-a^2-b^2-c^2}2$$
Il n'y a plus qu'un multiplicateur de Lagrange et on obtient directement les relations au point critique:
$$yz-a^2x=zx-b^2y=xy-c^2$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Bien sûr, dans le cas général, il n'existe pas de formule simple (closed form) donnant le volume maximal mais j'ai l'intuition qu'il ne devrait pas être trop difficile de montrer en utilisant la méthode de Soland par les déterminants de Cayley-Menger, que ce volume maximal est invariant par le groupe des permutations de $(a,b,c,d)$
$$12\,{z}^{4}+ \left( 16\,{a}^{2}+16\,{b}^{2}-8\,{c}^{2}-8\,{d}^{2}
\right) {z}^{3}+ \left( 7\,{a}^{4}+10\,{b}^{2}{a}^{2}-8\,{a}^{2}{c}^{
2}-8\,{a}^{2}{d}^{2}+7\,{b}^{4}-8\,{b}^{2}{c}^{2}-8\,{b}^{2}{d}^{2}+{c
}^{4}-2\,{c}^{2}{d}^{2}+{d}^{4} \right) {z}^{2}+\\
\left( {a}^{2}+{b}^{2
} \right) \left( {a}^{4}-2\,{b}^{2}{a}^{2}-2\,{a}^{2}{c}^{2}-2\,{a}^{
2}{d}^{2}+{b}^{4}-2\,{b}^{2}{c}^{2}-2\,{b}^{2}{d}^{2}+{c}^{4}-2\,{c}^{
2}{d}^{2}+{d}^{4} \right) z\\
-{b}^{2}{a}^{2} \left( {a}^{2}+{b}^{2}-{c}^
{2}+{d}^{2} \right) \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-{d}^{2} \right) =0
$$
$$V^2=\frac {1}{144}\,{\frac { \left( z^2-a^2b^2 \right) \left( {a}^{2
}+{b}^{2}-{c}^{2}-2\,cd-{d}^{2}+2\,z \right) \left( {a}^{2}+{b}^{2}-{
c}^{2}+2\,cd-{d}^{2}+2\,z \right) }{{a}^{2}+{b}^{2}+2\,z}}
$$
On élimine $z$, ce qui donne une équation en $V^2$ est de degré 4 et symétrique en $a,b,c,d$. Le résultat est un peu longuet, et les coefficients ne se factorisent pas, sauf le dernier: $$
-{s_{{1}}}^{2}{s_{{4}}}^{2} \left( {s_{{1}}}^{3}-4\,s_{{1}}s_{{2}}+8\,
s_{{3}} \right) ^{2} \left( {s_{{1}}}^{4}-4\,{s_{{1}}}^{2}s_{{2}}+8\,s
_{{1}}s_{{3}}-16\,s_{{4}} \right) ^{2}
$$
Cordialement, Pierre.
Il nous suffit de savoir que ce polynôme existe!
Amicalement
[small]p[/small]appus