le cas projectif

Bonjour,
je découvre un peu la géométrie projective à travers le théorème de Poncelet-Steiner (1833):

Tout point constructible à la règle et au compas peut-être construit uniquement à l'aide de la règle à condition que soit tracé dans le plan un cercle avec son centre.

Théorème dont j'espère bien exhiber un jour ici-même une application intéressante: dans le plan euclidien, un cercle et son centre étant donné, construire à la règle seule la perpendiculaire à une droite donnée $D$ passant par un point donné $A$.

Mais il faut pour cela s'appuyer sur deux constructions.

Construction C1: joindre un point $E$ du plan projectif $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant déterminé par deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$.
Construction C2: joindre un point $E$ du plan $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant obtenu comme point d'intersection d'une droite avec la droite à l'infini.

Pour construire la polaire d'un point $P$ par rapport à deux droite $D$ et $\Delta$ (qu'elles soient parallèles ou sécantes), on mène par $P$ deux sécantes qui coupent $D$ et $\Delta$ en $A$, $B$ et $A'$, $B'$ respectivement.
La polaire de $P$ relie le point d'intersection de $AB'$ et de $BA'$ et les points $M$ et $M'$, conjugués harmoniques du point $P$ par rapport à $AB$ et $A'B'$ respectivement. (Voir le premier dessin ci-dessous dans le cas où $D$ et $\Delta$ sont parallèles).

Or, la construction C1 amène à considérer un point $E$ situé entre deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$...(Voir le deuxième dessin).
Savez-vous comment on fait dans ce cas précis pour construire la polaire de $E$ par rapport aux droites parallèles $D_1$ et $D_2$ ?
Les exemples montrent toujours un point (celui dont on veut construire la polaire) situé au-dessus ou en-dessous des droites mais jamais entre !
D'autre part, il est dit que la construction C1 échoue si le point $E$ est situé à égale distance des droites $D_1$ et $D_2$ car alors la polaire de $E$ est la droite à l'infini.
Mais je ne comprends pas pourquoi.
Quand ce cas se présente, il faut choisir un deuxième point $E'$ non équidistant de $D_1$ et $D_2$ et construire la bonne parallèle passant par $E'$.



En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...

df

PS: Est-il possible de caser des pièces jointes entre deux paragraphes de commentaires plutôt que de les accumuler en fin de messages ? Cordialement.

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