le cas projectif
Bonjour,
je découvre un peu la géométrie projective à travers le théorème de Poncelet-Steiner (1833):
Tout point constructible à la règle et au compas peut-être construit uniquement à l'aide de la règle à condition que soit tracé dans le plan un cercle avec son centre.
Théorème dont j'espère bien exhiber un jour ici-même une application intéressante: dans le plan euclidien, un cercle et son centre étant donné, construire à la règle seule la perpendiculaire à une droite donnée $D$ passant par un point donné $A$.
Mais il faut pour cela s'appuyer sur deux constructions.
Construction C1: joindre un point $E$ du plan projectif $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant déterminé par deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$.
Construction C2: joindre un point $E$ du plan $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant obtenu comme point d'intersection d'une droite avec la droite à l'infini.
Pour construire la polaire d'un point $P$ par rapport à deux droite $D$ et $\Delta$ (qu'elles soient parallèles ou sécantes), on mène par $P$ deux sécantes qui coupent $D$ et $\Delta$ en $A$, $B$ et $A'$, $B'$ respectivement.
La polaire de $P$ relie le point d'intersection de $AB'$ et de $BA'$ et les points $M$ et $M'$, conjugués harmoniques du point $P$ par rapport à $AB$ et $A'B'$ respectivement. (Voir le premier dessin ci-dessous dans le cas où $D$ et $\Delta$ sont parallèles).
Or, la construction C1 amène à considérer un point $E$ situé entre deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$...(Voir le deuxième dessin).
Savez-vous comment on fait dans ce cas précis pour construire la polaire de $E$ par rapport aux droites parallèles $D_1$ et $D_2$ ?
Les exemples montrent toujours un point (celui dont on veut construire la polaire) situé au-dessus ou en-dessous des droites mais jamais entre !
D'autre part, il est dit que la construction C1 échoue si le point $E$ est situé à égale distance des droites $D_1$ et $D_2$ car alors la polaire de $E$ est la droite à l'infini.
Mais je ne comprends pas pourquoi.
Quand ce cas se présente, il faut choisir un deuxième point $E'$ non équidistant de $D_1$ et $D_2$ et construire la bonne parallèle passant par $E'$.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
df
PS: Est-il possible de caser des pièces jointes entre deux paragraphes de commentaires plutôt que de les accumuler en fin de messages ? Cordialement.
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je découvre un peu la géométrie projective à travers le théorème de Poncelet-Steiner (1833):
Tout point constructible à la règle et au compas peut-être construit uniquement à l'aide de la règle à condition que soit tracé dans le plan un cercle avec son centre.
Théorème dont j'espère bien exhiber un jour ici-même une application intéressante: dans le plan euclidien, un cercle et son centre étant donné, construire à la règle seule la perpendiculaire à une droite donnée $D$ passant par un point donné $A$.
Mais il faut pour cela s'appuyer sur deux constructions.
Construction C1: joindre un point $E$ du plan projectif $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant déterminé par deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$.
Construction C2: joindre un point $E$ du plan $P$ à un point à l'infini, celui-ci étant obtenu comme point d'intersection d'une droite avec la droite à l'infini.
Pour construire la polaire d'un point $P$ par rapport à deux droite $D$ et $\Delta$ (qu'elles soient parallèles ou sécantes), on mène par $P$ deux sécantes qui coupent $D$ et $\Delta$ en $A$, $B$ et $A'$, $B'$ respectivement.
La polaire de $P$ relie le point d'intersection de $AB'$ et de $BA'$ et les points $M$ et $M'$, conjugués harmoniques du point $P$ par rapport à $AB$ et $A'B'$ respectivement. (Voir le premier dessin ci-dessous dans le cas où $D$ et $\Delta$ sont parallèles).
Or, la construction C1 amène à considérer un point $E$ situé entre deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$...(Voir le deuxième dessin).
Savez-vous comment on fait dans ce cas précis pour construire la polaire de $E$ par rapport aux droites parallèles $D_1$ et $D_2$ ?
Les exemples montrent toujours un point (celui dont on veut construire la polaire) situé au-dessus ou en-dessous des droites mais jamais entre !
D'autre part, il est dit que la construction C1 échoue si le point $E$ est situé à égale distance des droites $D_1$ et $D_2$ car alors la polaire de $E$ est la droite à l'infini.
Mais je ne comprends pas pourquoi.
Quand ce cas se présente, il faut choisir un deuxième point $E'$ non équidistant de $D_1$ et $D_2$ et construire la bonne parallèle passant par $E'$.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
df
PS: Est-il possible de caser des pièces jointes entre deux paragraphes de commentaires plutôt que de les accumuler en fin de messages ? Cordialement.
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Réponses
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Je précise que sur le dernier dessin, la polaire de $E$ par rapport à $D_1$ et $D_2$ est la droite qui passe par le point $Q$.
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bonjour,
J'essaye d'interpréter mathématiquement ce silence assourdissant ! Le problème est trop simple ou trop compliqué ou mal formulé ou j'ai commis le pêché originel envers le Dieu Géomètre !
Ou cela vient du deuxième commentaire qui est faux. J'avais eu plus de "succès" avec les migrants (4020 visites au dernier recensement) contre 2 ici (les miennes !).
Bon, je crois avoir eu le fin mot de l'histoire.
Géométriquement:
A partir de deux points distincts disons $A$ et $B$ sur $D_2$, on trace deux sécantes passant par $E$ avec deux points d'intersection $A'$ et $B'$ situés sur $D_1$, la parallèle à $D_2$.
Soit $Q$ le point situé à l'intersection des droites $(AB')$ et $(BA')$. Ce point est un point de la polaire de $E$ par rapport à $D_1$ et $D_2$.
La polaire de $E$ par rapport aux parallèles $D_1$ et $D_2$ est la droite joignant $Q$ et $E$... et non la droite passant par $Q$ et figurant sur le dessin comme je l'avais écrit.
Est-ce vrai ?
Ensuite, on place un troisième point $C$ sur $D_2$ et soit $C'$ l'intersection de $QC$ avec $D_1$. Les diagonales $(BC')$ et $(CA')$ se coupent en $F$. La droite $(EF)$ est la parallèle cherchée.
Bonne journée !
... -
Bonsoir,
la polaire d'un point $P$ par rapport à deux droites $D_1$ et $D_2$ est une droite qui passe par l'intersection de $D_1$ et $D_2$ ( cette intersection étant baptisée "point à l'infini" si les deux droites sont parallèles, auquel cas la polaire de $P$ est parallèle à $D_1$ et $D_2$).
Sur ton premier dessin la polaire de $P$ par rapport à $D$ et $\Delta$ est $MM'$ comme tu l'as écrit;
sur le second la polaire de $Q$ par rapport à $D_1$ et $D_2$ est $(EF)$.
Soient deux droites parallèles $D_1$ et $D_2$ et un point $E$; Tu veux tracer à la règle seule la parallèle à $D_1$ menée de $E$: Tu traces deux sécantes à $D_1$ (et donc à $D_2$) passant par $E$, tu en déduis le $Q$ de ton second dessin et depuis ce $Q$ tu construis ton $F$.
(EF) est la droite recherchée.
Comme tu le dis, il y a un souci si $E$ est "équidistant" (terme interdit en projectif, mais bon) de $D_1$ et $D_2$ car alors $Q$ se retrouve à l'infini (histoire de parallèlogramme). Qu'à cela ne tienne: tu te construis une parallèle $D_3$ à $D_1$ autre que $D_2$ et tu envoies la musique.
Cordialement
Paul -
Je ne comprends pas ton Edit.
"LA polaire de deux droites parallèles" (ou sécantes, d'ailleurs), ça ne veut rien dire!
On définit, pour tout point, SA polaire par rapport à deux droites données ; deux points distincts ont la même polaire par rapport à ces deux droites données si et seulement si la droite qu'ils définissent passe par l'intersection de ces deux droites données ( ou leur est parallèle si elles sont parallèles) et leur polaire commune par rapport aux deux droites données passe aussi par l'intersection des deux droites données ( ou leur est parallèle si elles sont parallèles)
On me corrigera très vite si je dis des sottises!
Cordialement
Paul
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Bonjour!
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