Le $n$-simplexe
Bonne Nuit
Traditionnellement on donne cet exercice pour un triangle du plan affine.
Pour changer un peu, je vais le présenter pour un $n$-simplexe de l'espace affine de dimension $n$.
Les frileux pourront se contenter du cas d'un tétraèdre de l'espace.
On dispose donc d'un $n$ simplexe $A_0A_1\dots A_n$ d'isobarycentre $G$
Soit $L$ une droite passant par $G$.
On suppose qu'elle coupe la face hyperplane du simplexe ne contenant pas $A_k$ en un point $B_k$ pour $0\le k\le n$.
Montrer que:
$$\sum_{0\le k\le n}\dfrac 1{\overline{GB_k}}=0$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
C'est facile et sans astuce. C'est juste un exercice de style sur les bases de la géométrie affine!
Traditionnellement on donne cet exercice pour un triangle du plan affine.
Pour changer un peu, je vais le présenter pour un $n$-simplexe de l'espace affine de dimension $n$.
Les frileux pourront se contenter du cas d'un tétraèdre de l'espace.
On dispose donc d'un $n$ simplexe $A_0A_1\dots A_n$ d'isobarycentre $G$
Soit $L$ une droite passant par $G$.
On suppose qu'elle coupe la face hyperplane du simplexe ne contenant pas $A_k$ en un point $B_k$ pour $0\le k\le n$.
Montrer que:
$$\sum_{0\le k\le n}\dfrac 1{\overline{GB_k}}=0$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
C'est facile et sans astuce. C'est juste un exercice de style sur les bases de la géométrie affine!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $H_{k}$ la face hyperplane du simplexe ne contenant pas $A_{k}$, $B_{0}\in H_{0}$.
Dans le repère cartésien $\left( A_{0},\overrightarrow{A_{0}A_{1}},...,\overrightarrow{A_{0}A_{n}}\right) $, on a $B_{0}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) $ avec $x_{1}+...+x_{n}=1$. Si, pour $1\leq k\leq n$, la droite $L=GB_{0}$ coupe $H_{k}$ en $B_{k}$, la $k$-ième coordonnée de $B_{k}$ étant nulle, on a $\dfrac{\overline{GB_{0}}}{\overline{GB_{k}}}=1-\left( n+1\right) x_{k}$ et $\sum\limits_{0\leq k\leq n}\dfrac{1}{\overline{GB_{k}}}=\dfrac{1}{\overline{GB_{0}}}\left( 1+\sum\limits_{1\leq k\leq n}\left( 1-\left( n+1\right) x_{k}\right) \right) =0$
Amicalement. Poulbot
J'aurais voulu une rédaction légèrement différente et plus symétrique de tes calculs.
On se donne a priori un vecteur directeur $\overrightarrow V$ de la droite $L$.
Dans le repère $(A_0,A_1,\dots,A_n)$, ce vecteur $\overrightarrow V$ admet des composantes barycentriques $(v_0,v_1,\dots, v_n)$ telles que: $v_0+v_1+\dots+v_n=0$
La paramétrisation $t\mapsto G+t\overrightarrow V=M$ de la droite $L$ se lit alors:
$x_k=\dfrac 1{n+1}+tv_k$ pour $0\le k\le n$.
Au point $B_k$, on a donc: $x_k(B_k)=\dfrac 1{n+1}+\overline{GB_k}.v_k=0$
Par suite: $\dfrac 1{\overline{GB_k}}=-(n+1)v_k$
Et enfin:
$$\sum_{0\le k\le n}\dfrac 1{\overline{GB_k}}=0$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
On peut généraliser en $\displaystyle \sum_{0\le k\le n}\dfrac {\alpha_k}{\overline{GB_k}}=0$ si $G$ est barycentre des $A_k$ avec pour coefficients les $\alpha_k$.
Cordialement,
Rescassol