Un résultat curieux sur le triangle rectangle

Piteux_gore · September 2017

Bonjour,

Soit ABC un triangle rectangle en A de côtés AB = c, BC = a, CA = b ; soit M le milieu de AB, soit u l'angle ACM et v l'angle MCB.
On a clairement tan(u) = c/2b,
et la loi des cosinus donne après quelques calculs simples tan(v) = bc/(2b² + c²).
On vérifie, par la formule classique donnant tan(x + y) en fonction de tan(x) et tan(y), que tan(u + v) = c/b.

Ce qui me semble étrange a priori, c'est que tan(v) < 2^1/2/4 (avec égalité si c = b.2^1/2).

A+

pappus · September 2017

Mon cher Piteux_gore
$\dfrac 1{\tan(v)}=\dfrac{2b^2+c^2}{2bc}=\dfrac bc+\dfrac c{2b}$
C'est la somme de deux réels positifs dont le produit est constant et égal à $\frac 12$.
Le minimum est atteint quand ces deux réels sont égaux: $\dfrac bc=\dfrac c{2b}$ ou encore $c^2=2b^2$, i.e: $c=b\sqrt 2$.
Quelle est la valeur de ce minimum de $\dfrac 1{\tan(v)}$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · September 2017

RE

Je n'avais pas vu cette décomposition, mais ce qui m'a surpris c'est le fait que l'angle v ne pourra jamais dépasser une valeur assez faible (de l'ordre de 30°).

A+

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