Tangent à une variété singulière
Bonjour,
Soit $X=\{x\in \C^n: f_1(x)=\dots =f_m(x)=0\}$ une variété algébrique telle que $f_i, \ i=1,\dots,m$ sont des polynômes irréductibles, ne sont pas coincides par paire et que $m\leqslant n$. Notons $Jf(x)$ la matrice jacobienne de $f=(f_1,\dots,f_m)$ en $x$. Soit $r=\max_{x\in X}rang Jf(x)$.
Si $r=m$, pour tout $x$ tel que $rang Jf(x)=m$, l'espace tangent à $X$ en $x$ est donné par le système $d_xf_1=\dots=d_xf_m=0.$
Je voudrais savoir comment calculer l'espace tangent à $X$ en points réguliers de $X$ quand $r<m$. Est ce que c'est pareil comme le cas $r=m$?
Merci d'avance,
Cordialement
Soit $X=\{x\in \C^n: f_1(x)=\dots =f_m(x)=0\}$ une variété algébrique telle que $f_i, \ i=1,\dots,m$ sont des polynômes irréductibles, ne sont pas coincides par paire et que $m\leqslant n$. Notons $Jf(x)$ la matrice jacobienne de $f=(f_1,\dots,f_m)$ en $x$. Soit $r=\max_{x\in X}rang Jf(x)$.
Si $r=m$, pour tout $x$ tel que $rang Jf(x)=m$, l'espace tangent à $X$ en $x$ est donné par le système $d_xf_1=\dots=d_xf_m=0.$
Je voudrais savoir comment calculer l'espace tangent à $X$ en points réguliers de $X$ quand $r<m$. Est ce que c'est pareil comme le cas $r=m$?
Merci d'avance,
Cordialement
Réponses
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Oui, sauf que la dimension de l'espace des solutions du système est $n-r$ dans ce cas.
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Oui, en effet. Mais ce n'est peut-être pas la question que je voulais poser.
Si $X$ est affine et $\dim X=n-m$. Est ce que l'on peut choisir un système de générateurs de l'idéal $I(X)$ de $X$ qui a exactement $m$ éléments? -
Non. Une variété algébrique affine n'est pas forcément intersection complète (la propriété que tu demandes). Mais si elle est lisse elle est localement intersection complète.
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Une question en plus,
Pour chaque $i,$ la matrice (vecteur) de $d_xf_i$ est la conjugaison complexe du vecteur gradient $\nabla f_i(x)$?
Merci encore. -
Euh... Que veut dire ta question ?
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Chaque $d_xf_i$ est une forme linéaire, donc, je voudrais savoir quelle est sa matrice. Dans le cas réelle, la matrice de $d_xf_i$ est le vecteur gradient $\nabla f_i(x).$
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On a $d_xf(h) = \langle\nabla f(x),h\rangle$.
Si on est sur $\C$, le crochet à droite est le produit scalaire hermitien.
Dans une b.o.n., si $L$ est la matrice de la forme linéaire $d_xf$ (matrice ligne), alors le vecteur colonne $\nabla f(x)$ est $L^*$, l'adjoint de $L$ (transposé conjugué). -
Alors dans la première formule, tu dois écrire $d_xf(h)=\langle(\nabla f(x))^t,h\rangle.$
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Absolument pas.
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D'accord, pour toi $h$ est un vecteur colonne.
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Pas pour toi ? Les vecteurs sont en colonne, les formes linéaires en ligne, forcément. Quand tu as une matrice $M$ de taille $n\times n$ et un vecteur $h$ de taille $n$, peux-tu écrire $Mh$ si $h$ n'est pas en colonne ?
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C'est juste un détail, pour moi colonne ou ligne sont pareils. Mais c'est plus raisonable que $h$ soit en colonne car tu peux écrire le produit scalaire par une multiplication de matrices.
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DinoHN écrivait:
> C'est juste un détail, pour moi colonne ou ligne sont pareils.
C'est embêtant de faire la confusion !
> Mais c'est plus résonable que $h$ soit en ligne car tu peux écrire le produit
> scalaire par une multiplication de matrices.
Explique-moi comment tu écris le produit scalaire de $\nabla f(x)$ et $h$ comme multiplication de matrices avec $h$ en ligne. -
Si je ne veux pas écrire le produit scalaire comme multiplication de matrices, je n'ai pas besoin que $h$ soit en ligne. Mais je suis bien d’accord avec toi que c'est embêtant de créer la confusion. J'ai eu tort, je voulais dire "Mais c'est plus raisonnable que $h$ soit en colonne ...". :-D
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raisonnable (comme raison), pas résonable.
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Oui, je ne sais pas pourquoi j'ai écrit comme ça, comme je ne sais pas pourquoi j'ai écrit "ligne" au lieu de "colonne".
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Salut GaBuzoMeu,
Tu dit qu'une variété algébrique affine $X$ n'est pas forcément intersection complète mais si elle est lisse, elle est localement intersection complète. J'ai deux questions:
- Si $X$ est lisse, elle est intersection complète sur un ouvert dense de $X$?
- $X$ est intersection complète sur un ouvert dense de $X$ même si elle n'est pas lisse?
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