Deux hexagones

GaBuZoMeu · October 2017

Bonsoir,

Soient $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ et $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ deux hexagones du plan affine (ici un hexagone est juste une liste ordonnée de six points du plan). Auriez-vous déjà rencontré une relation entre ces deux hexagones qui s'exprime par :
$$\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_6} \left(\epsilon(\sigma)\times \det(\vec{OA}_{\sigma(1)},\vec{OA}_{\sigma(2)})\times \det(\vec{OA}_{\sigma(3)},\vec{OB}_{\sigma(3)})\times \det(\vec{OB}_{\sigma(4)},\vec{OB}_{\sigma(5)})\right)=0\;,$$
où $O$ est un point quelconque du plan, le déterminant est pris dans une base quelconque et $\epsilon(\sigma)$ la signature de la permutation $\sigma$ ?
Cette relation est invariante par l'action du groupe affine sur la configuration des deux hexagones, invariante par translation et homothétie sur l'un des hexagones ; elle ne dépend pas du choix de $O$. Cette relation est réflexive et symétrique.
Si $A_1=B_1$, $A_2=B_2$ et $A_3=B_3$, cette relation est vérifiée si et seulement si les droites $(A_4B_4)$, $(A_5B_5)$ et $(A_6B_6)$ sont concourantes ou parallèles.

GaBuZoMeu · October 2017

Une petite correction à la dernière phrase du message précédent :
"Si $A_1=B_1$, $A_2=B_2$ et $A_3=B_3$ et si ces trois points ne sont pas alignés, ..."
Je peux ajouter que la relation est vérifiée dès qu'un des hexagones est complètement aplati.

Sinon, il semble que cette relation n'évoque rien pour les personnes qui ont consulté le message. Toute piste pourrait m'être utile.

pappus · October 2017

Mon cher GaBuZoMeu
Il faut dire que sous la forme où tu l'as écrite, ton expression n'excite guère l'imagination.
Il serait déjà intéressant de nous dire dans quel cadre tu l'as obtenue.
Serait-ce idiot d'essayer de la mettre elle même sous la forme d'une somme de déterminants de taille $6$ ?
Amicalement
[small]p[/small]appus

YvesM · October 2017

Bonjour,

Les physiciens chimistes aiment bien demander aux mathématiciens quelles sont toutes les configurations possibles d'une structure plane donnée d'hexagones selon l'emplacement des doubles liaisons entre atomes de carbone... Les mathématiciens répondent des trucs que je ne comprends pas... mais qui ressemblent à ton expression.

Cherche dans : projective geometry, Grassmann-Plücker relations, Pappus's Theorem

Ces Grassmann-Plücker relations montrent une identité sous la forme d'une somme de produits de déterminants 2 x 2 pour un certain nombre de points arbitraires (6 pour l'hexagone) dans le plan projectif. La collinéarité est à l'origine du déterminant 2 x 2.

J'espère ne pas te faire perdre ton temps.

GaBuZoMeu · October 2017

Merci YvesM. Les relations de Grassmann-Plücker sont certainement voisines de mon problème, vu que celui-ci a son origine dans l'exploration de la condition que les coordonnées de Plücker de six droites forment un système lié (les six droites sont les jambes d'une plate-forme de Gough-Stewart). Mais, bon ...

PS. J'avais zappé la réponse de Pappus. Le déterminant $6\times 6$, vu la petite explication que je viens de donner, j'en ai un au départ. Mais j'essaie justement de comprendre la signification de la partie homogène de plus haut degré (degré $3$), par rapport au vecteur de translation de la plate forme, de ce déterminant.

claude quitté · October 2017

GBZM
Peut-être à côté de la plaque. Est ce que ta relation pourrait être un habitant de $I_3$, composante homogène de degré $3$ de l'idéal $I$ de $\mathbb G_{6,2}$ ?

> R62 := ReducedPluckerRelations(6,2) ;
> R62 ;
[
    [14]*[23] - [13]*[24] + [12]*[34],
    [15]*[23] - [13]*[25] + [12]*[35],
    [16]*[23] - [13]*[26] + [12]*[36],
    [15]*[24] - [14]*[25] + [12]*[45],
    [16]*[24] - [14]*[26] + [12]*[46],
    [16]*[25] - [15]*[26] + [12]*[56],
    [15]*[34] - [14]*[35] + [13]*[45],
    [16]*[34] - [14]*[36] + [13]*[46],
    [25]*[34] - [24]*[35] + [23]*[45],
    [26]*[34] - [24]*[36] + [23]*[46],
    [16]*[35] - [15]*[36] + [13]*[56],
    [26]*[35] - [25]*[36] + [23]*[56],
    [16]*[45] - [15]*[46] + [14]*[56],
    [26]*[45] - [25]*[46] + [24]*[56],
    [36]*[45] - [35]*[46] + [34]*[56]
]
> Universe(R62) ;
Graded Polynomial ring of rank 15 over Rational Field
Order: Graded Reverse Lexicographical
Variables: [12], [13], [14], [15], [16], [23], [24], [25], [26], [34], [35], [36], [45], [46], [56]
Variable weights: [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
> time I3 := ComposanteHomogene(I,6) ;   // 6 car le poids de chaque variable est 2                                      
Time: 0.880
> #I3 ;
190
> Random(I3) ;
[25]*[34]*[35] - [24]*[35]^2 + [23]*[35]*[45]

Explication : il faut imaginer que l'on a une matrice $6 \times 2$ (plus haute que large, chez moi) avec $6 \times 2$ indéterminées. Et $[i_1 i_2]$ désigne le déterminant $2 \times 2$ extrait sur les lignes $i_1,i_2$. Mais évidemment, je suppose que tu connais tout cela.

GaBuZoMeu · October 2017

Merci Claude. J'ai 24 indéterminées dans ma relation (deux paquets de 12), mais il y a certainement des liens avec les relations de Grassmann-Plücker, comme je l'ai déjà dit.
Ce qui me plairait en fait, c'est d'avoir une interprétation géométrique de cette relation entre deux hexagones.

claude quitté · October 2017

GBZM
Arg, comment j'ai fait mon compte (précipitation ?). Bien sûr, il y a 12 points avec 2 coordonnées par point. Sais tu si ta relation est un habitant de l'idéal de $\mathbb G_{12,2}$ ?

GaBuZoMeu · October 2017

Je n'ai pas encore vérifié. Par contre, en lien avec les relations de Plücker dans le cas (6,2) que tu as écrites, on a cette propriété de la relation : un hexagone est en relation avec son image par n'importe quelle transformation affine.

YvesM · October 2017

Bonjour,

Cherche un PDF avec : Perspectives on Projective Geometry. Page 102. J'espère que c'est utile : la relation 'quadrilateral set' me semble assez proche : somme de produits de 3 déterminants 2 x 2.

df · October 2017

Ca n'a pas un rapport avec les coordonnées projectives ?

J'ai un extrait qui a peut-être un rapport avec ce que tu cherches. En tout cas ça ressemble un peu.
C'est tiré d'un article sur le plan projectif où l'on parle justement de Plücker (je ne connais pas ses travaux), mais aussi de Lüroth et von Staudt.

ps: Après relecture, je me suis peut-être un peu trop emballé: ce sont juste les définitions des coordonnées projectives !

Cordialement... 68386

GaBuZoMeu · October 2017

Merci des réponses, mais je pense que là on s'éloigne un peu de ma question. Elle concerne vraiment deux hexagones et l'interprétation géométrique de la relation entre deux hexagones exprimée par cette condition barbare d'annulation de somme de produit de déterminants.

Un modèle réduit : on a deux listes $A_1A_2A_3$ et $B_1B_2B_3$ de trois points sur une droite ; on note $a_i$ et $b_i$ les abscisses de ces points dans un repère affine quelconque de la droite. La condition
$$\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_3} \left(\epsilon(\sigma)\times a_{\sigma(1)}\times b_{\sigma(2)} \right)=0$$
a une interprétation géométrique claire (je l'écris en blanc).
Il existe une application affine de la droite dans elle-même qui envoie une des listes de trois points sur l'autre.

Je cherche une caractérisation analogue, et je me demandais si ça évoquait des souvenirs chez les experts géomètres du forum.

Bouzar · October 2017

Bonsoir
Position initiale/finale de la plateforme de Gough-Stewart. 68656

GaBuZoMeu · October 2017

Euh oui ...
Mais encore ?

Bouzar · October 2017

Bonjour GaBuZoMeu
Voici un document qui peut être utile :
https://tel.archives-ouvertes.fr/pastel-00563998/document

GaBuZoMeu · October 2017

Je connais bien le directeur de thèse, je connais assez bien un des rapporteurs, et un des examinateurs est un de mes coauteurs.
Le contenu de la thèse ne m'apprend pas grand-chose, et strictement rien sur le problème posé.
Merci Bouzar, mais ce n'est pas la peine d'aller déterrer la littérature (très fournie !) sur les robots parallèles.

Deux hexagones

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