Deux hexagones
Bonsoir,
Soient $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ et $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ deux hexagones du plan affine (ici un hexagone est juste une liste ordonnée de six points du plan). Auriez-vous déjà rencontré une relation entre ces deux hexagones qui s'exprime par :
$$\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_6} \left(\epsilon(\sigma)\times \det(\vec{OA}_{\sigma(1)},\vec{OA}_{\sigma(2)})\times \det(\vec{OA}_{\sigma(3)},\vec{OB}_{\sigma(3)})\times \det(\vec{OB}_{\sigma(4)},\vec{OB}_{\sigma(5)})\right)=0\;,$$
où $O$ est un point quelconque du plan, le déterminant est pris dans une base quelconque et $\epsilon(\sigma)$ la signature de la permutation $\sigma$ ?
Cette relation est invariante par l'action du groupe affine sur la configuration des deux hexagones, invariante par translation et homothétie sur l'un des hexagones ; elle ne dépend pas du choix de $O$. Cette relation est réflexive et symétrique.
Si $A_1=B_1$, $A_2=B_2$ et $A_3=B_3$, cette relation est vérifiée si et seulement si les droites $(A_4B_4)$, $(A_5B_5)$ et $(A_6B_6)$ sont concourantes ou parallèles.
Soient $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ et $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ deux hexagones du plan affine (ici un hexagone est juste une liste ordonnée de six points du plan). Auriez-vous déjà rencontré une relation entre ces deux hexagones qui s'exprime par :
$$\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_6} \left(\epsilon(\sigma)\times \det(\vec{OA}_{\sigma(1)},\vec{OA}_{\sigma(2)})\times \det(\vec{OA}_{\sigma(3)},\vec{OB}_{\sigma(3)})\times \det(\vec{OB}_{\sigma(4)},\vec{OB}_{\sigma(5)})\right)=0\;,$$
où $O$ est un point quelconque du plan, le déterminant est pris dans une base quelconque et $\epsilon(\sigma)$ la signature de la permutation $\sigma$ ?
Cette relation est invariante par l'action du groupe affine sur la configuration des deux hexagones, invariante par translation et homothétie sur l'un des hexagones ; elle ne dépend pas du choix de $O$. Cette relation est réflexive et symétrique.
Si $A_1=B_1$, $A_2=B_2$ et $A_3=B_3$, cette relation est vérifiée si et seulement si les droites $(A_4B_4)$, $(A_5B_5)$ et $(A_6B_6)$ sont concourantes ou parallèles.
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Réponses
"Si $A_1=B_1$, $A_2=B_2$ et $A_3=B_3$ et si ces trois points ne sont pas alignés, ..."
Je peux ajouter que la relation est vérifiée dès qu'un des hexagones est complètement aplati.
Sinon, il semble que cette relation n'évoque rien pour les personnes qui ont consulté le message. Toute piste pourrait m'être utile.
Il faut dire que sous la forme où tu l'as écrite, ton expression n'excite guère l'imagination.
Il serait déjà intéressant de nous dire dans quel cadre tu l'as obtenue.
Serait-ce idiot d'essayer de la mettre elle même sous la forme d'une somme de déterminants de taille $6$ ?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Les physiciens chimistes aiment bien demander aux mathématiciens quelles sont toutes les configurations possibles d'une structure plane donnée d'hexagones selon l'emplacement des doubles liaisons entre atomes de carbone... Les mathématiciens répondent des trucs que je ne comprends pas... mais qui ressemblent à ton expression.
Cherche dans : projective geometry, Grassmann-Plücker relations, Pappus's Theorem
Ces Grassmann-Plücker relations montrent une identité sous la forme d'une somme de produits de déterminants 2 x 2 pour un certain nombre de points arbitraires (6 pour l'hexagone) dans le plan projectif. La collinéarité est à l'origine du déterminant 2 x 2.
J'espère ne pas te faire perdre ton temps.
PS. J'avais zappé la réponse de Pappus. Le déterminant $6\times 6$, vu la petite explication que je viens de donner, j'en ai un au départ. Mais j'essaie justement de comprendre la signification de la partie homogène de plus haut degré (degré $3$), par rapport au vecteur de translation de la plate forme, de ce déterminant.
Peut-être à côté de la plaque. Est ce que ta relation pourrait être un habitant de $I_3$, composante homogène de degré $3$ de l'idéal $I$ de $\mathbb G_{6,2}$ ?
Explication : il faut imaginer que l'on a une matrice $6 \times 2$ (plus haute que large, chez moi) avec $6 \times 2$ indéterminées. Et $[i_1 i_2]$ désigne le déterminant $2 \times 2$ extrait sur les lignes $i_1,i_2$. Mais évidemment, je suppose que tu connais tout cela.
Ce qui me plairait en fait, c'est d'avoir une interprétation géométrique de cette relation entre deux hexagones.
Arg, comment j'ai fait mon compte (précipitation ?). Bien sûr, il y a 12 points avec 2 coordonnées par point. Sais tu si ta relation est un habitant de l'idéal de $\mathbb G_{12,2}$ ?
Cherche un PDF avec : Perspectives on Projective Geometry. Page 102. J'espère que c'est utile : la relation 'quadrilateral set' me semble assez proche : somme de produits de 3 déterminants 2 x 2.
J'ai un extrait qui a peut-être un rapport avec ce que tu cherches. En tout cas ça ressemble un peu.
C'est tiré d'un article sur le plan projectif où l'on parle justement de Plücker (je ne connais pas ses travaux), mais aussi de Lüroth et von Staudt.
ps: Après relecture, je me suis peut-être un peu trop emballé: ce sont juste les définitions des coordonnées projectives !
Cordialement...
Un modèle réduit : on a deux listes $A_1A_2A_3$ et $B_1B_2B_3$ de trois points sur une droite ; on note $a_i$ et $b_i$ les abscisses de ces points dans un repère affine quelconque de la droite. La condition
$$\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_3} \left(\epsilon(\sigma)\times a_{\sigma(1)}\times b_{\sigma(2)} \right)=0$$
a une interprétation géométrique claire (je l'écris en blanc).
Il existe une application affine de la droite dans elle-même qui envoie une des listes de trois points sur l'autre.
Je cherche une caractérisation analogue, et je me demandais si ça évoquait des souvenirs chez les experts géomètres du forum.
Position initiale/finale de la plateforme de Gough-Stewart.
Mais encore ?
Voici un document qui peut être utile :
https://tel.archives-ouvertes.fr/pastel-00563998/document
Le contenu de la thèse ne m'apprend pas grand-chose, et strictement rien sur le problème posé.
Merci Bouzar, mais ce n'est pas la peine d'aller déterrer la littérature (très fournie !) sur les robots parallèles.