Trigonométrie pour deux triangles

Bonjour,

Cette inégalité est sans doute assez coriace sauf à trouver le bon chemin (que je cherche encore).

Pour faire avancer le schmilblick, je note que :
- L'inégalité est homogène de degré $6$ en les variables $a,b,c,x,y,z$ : on peut donc imposer une contrainte telle que $\displaystyle a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2 = 1.$
- Pour deux triangles équilatéraux, on a $\displaystyle a=b=c=\alpha >0$ et $\displaystyle x=y=z=t>0$ et alors l'inégalité est équivalente à $\displaystyle (\alpha^2+3t^2)^3 \geq 6 t^2 (\alpha^2+t^2)^2 + 3 \alpha^2 t^4 \iff (\alpha^2-t^2)^2 (\alpha^2+2t^2) \geq 0$, ce qui est vrai.