Singularité

J'ai une autre question : pourquoi si $X$ a une singularité isolé si et seulement si $\dim \Bbb C\{x,y,z\}/J < \infty$ avec $J = \langle f,f_x,f_y,f_z \rangle$ l'idéal jacobien de $X$ ?Je n'ai rien trouvé dans le Arnold (mais j'ai sans doute mal cherché).


Un sens n'a l'air pas trop dur : si $X$ n'a pas de singularité isolé, et que par exemple $X$ est singulier le long d'une droite, disons l'axe des $z$, ça implique que $J \subset \langle x,y \rangle $ ce qui permet de conclure. De manière générale, je suppose que ma courbe est pas trop moche et qu'elle est l'intersection de deux surfaces $g_1 = 0, g_2 = 0$. Alors $J \subset \langle g_1, g_2 \rangle$ et le même argument s'applique.
Je n'ai pas d'idée pour la réciproque.

Edit : En fait je viens de me rendre compte d'un truc : si on prends $\Bbb C[x,y,z]$ au lieu de $\Bbb C \{x,y,z\}$ alors si $J$ est un point $\Bbb C[x,y,z]/J$ est fini, car le degré de transcendance de $\Bbb C[x,y,z]/J$ doit être nul, mais je ne sais pas comment généraliser à $\Bbb C\{x,y,z\}$.

Merci beaucoup, ton article est bien c'est le résultat dont j'avais besoin.