Construction (pas à la règle et au compas)

Bonjour Pappus
En adoptant tes notations, et pour éviter de trainer des transformations cubiques, j'ai calculé directement l'image de $M^{\prime }$ par une inversion de pôle $O$.
Plus précisément, soit $O=\left[ 0,0\right] ,C=\left[ 1,0\right] $, $j$ l'inversion par rapport au cercle $\left( O,1\right) $, $A$ et $B$ sur le cercle de diamètre de $\left[ OC\right] $ avec $j\left( A\right) =\left[ 1,a\right] ,j\left( B\right) =\left[ 1,b\right] $.
Avec $M=\left[ x,y\right] ,j\left( M\right) =\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}M$, on calcule la puissance de $O$ par rapport au cercle inverse du cercle $ABM$, soit$\pi =\dfrac{\left( 1-ab\right) x+\left( a+b\right) y-1}{x^{2}+y^{2}-x}$.
Les points communs à ce cercle et à la droite $OM$ étant $j\left( M\right) $ et $j\left( M^{\prime }\right) $, il en résulte que $j\left( M^{\prime }\right) =\pi M$.
$\varphi :M\rightarrow j\left( M^{\prime }\right) $ est quadratique (et même biquadratique); elle transforme une droite $D$ en une conique. Prenant pour $M$ les points d'intersections de $D$ avec les droites $AB$, $OA$, et $OB$, on voit que la conique $\varphi \left( D\right) $ passe par $O$, $j\left( A\right) $ et $j\left( B\right) $.
Etant données deux droites $D$ et $D^{\prime }$, pour trouver les droites $\Delta $ passant par $O$ pour lesquelles $A,B,\Delta \cap D,\Delta \cap D^{\prime }$ sont cocycliques, il suffit de construire $\varphi \left( D\right) $ en en trouvant $2$ autres points; $\Delta $ passe alors par un point commun (autre que $O$) à $\varphi \left( D\right) $ et au cercle $j\left( D^{\prime }\right) $.
Evidemment, on peut prendre pour $j$ n'importe quelle inversion de pôle $O$ pour faire cette construction.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus et merci
Avec tes notations, mon énoncé initial devient :
Etant donnés les points $O,A,B$ et les droites $D$ et $D^{\prime }$, construire les droites $\Delta $ passant par $O$ pour lesquelles les points $A,B,\Delta \cap D,\Delta \cap D^{\prime }$ sont cocycliques.

Of course, il résulte de l'étude précédente que, comme tu le disais, l'image d'une droite $D$ par ta transformation $M\rightarrow M^{\prime }$ est, en général, une cubique circulaire de point double $O$ et passant par $A$ et $B$.

Question subsidiaire : quand $M$ décrit une droite $D$, quelle est l'enveloppe de la perpendiculaire en $M^{\prime }$ à $OM$?
(Je présume qu'il y a fort longtemps, connaître l'antipodaire d'une cubique circulaire rationnelle par rapport à son point singulier devait faire partie du b.a-ba)

Amicalement. Poulbot

Re-bonjour Pappus
Ne t'inquiète pas trop! Ta mémoire est excellente.
En fait, le foyer de la parabole est le symétrique du point double de la cubique par rapport à son foyer singulier.
Pour le vérifier, il suffit d'utiliser l'équation de la cubique circulaire de point double l'origine $O$, foyer singulier $F_{0}=\left( a,b\right) $ et asymptote réelle $x=d$, équation qui est $\left( x-d\right) \left( x^{2}+y^{2}\right) -2x\left( ax+by\right) =0$ puis de paramétrer la courbe en la coupant par $y=tx$, ...
On obtient alors la parabole $\left( y-2b\right) ^{2}+4d\left( x-d-2a\right) =0$ qui a bien pour foyer $\left( 2a,2b\right) $.
Tout cela est conforme à Cubique circulaire rationnelle qui est bien plus complet mais n'utilise pas la dénomination de foyer singulier (point commun aux tangentes à la cubique aux points cycliques).
Amicalement. Poulbot