Partage équitable d'un quadrilatère

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,

Voici un extrait d'une page Internet.

Partage équitable d'un quadrilatère en 2.
Soit le quadrilatère ABCD, choisissons un point E du côté [CD]. Par C et D traçons les parallèle à [EB] et [EA].
Elles coupent la droite (AB) en F et G, si le milieu H de [FG] appartient au segment [AB], alors si le segment [EH] est contenu dans ABCD, il le partage en 2 polygones de même aire.

J'ai essayé sans succès de justifier ce résultat... Si quelqu'un a une idée, merci d'avance !

A+
[Figure (jacquot) ]71782
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    syms a b c d
syms aB bB cB dB % Conjugués

syms t real

e=c+t*(d-c);
eB=cB+t*(dB-cB);

[pab qab rab]=DroiteDeuxPoints(a,b,aB,bB);

[pceb qceb rceb]=DroiteParallele(c,e,b,cB,eB,bB);
[pdea qdea rdea]=DroiteParallele(d,e,a,dB,eB,aB);

[f fB]=IntersectionDeuxDroites(pceb,qceb,rceb,pab,qab,rab);
[g gB]=IntersectionDeuxDroites(pdea,qdea,rdea,pab,qab,rab);

h=factor((f+g)/2);
hB=factor((fB+gB)/2);

AireAHED=factor(Aire(a,h,e,aB,hB,eB)+Aire(a,e,d,aB,eB,dB))
AireBCEH=factor(Aire(b,c,e,bB,cB,eB)+Aire(b,e,h,bB,eB,hB))

Nul=factor(AireAHED-AireBCEH) % Égal à 0, donc c'est gagné

    Cordialement,

    Rescassol
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Essaye déjà de montrer que le quadrilatère $ABCD$ et le triangle $EFG$ ont même aire.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    J'ai compris, merci !

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Je suis heureux de savoir que tu as compris mais quoi?
    Le code de Rescassol ou bien mon indication?
    Il faut déjà montrer que $S(ABCD)=S(EFG)$, ce n'est pas très évident et enfin il faut conclure, là aussi il y a un bel effort à faire!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Chaurien
    Chaurien
    C'est juste l'idée que si on balade un point $M$ sur une parallèle à une droite $EA$, l'aire du triangle $MEA$ ne change pas.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    J'ai compris que le parallélisme de certaines droites fait que la figure recèle deux paires de triangles, les triangles de chaque paire ayant un côté commun et la même hauteur relative à ce côté.

    La solution à ce problème fournit aussi la solution au problème
    Construire géométriquement un triangle de même aire qu'un quadrilatère convexe donné.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Bonjour,

    Je viens de dénicher un article de Maurice d'Ocagne sur le partage des polygones.

    S'il y en a que cela intéresse, je mettrai l'article sur le forum.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
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