Antiparallèles concourantes

Bonjour Pierre
et merci pour la condition (par chance pour moi, j'avais trouvé la même).
En ce qui concerne ton problème avec le cercle circonscrit :
Il est sous-entendu que les points communs au cercle $MBC$ et à la droite $AB$ sont $B$ et $a_{b}$; en outre les trois droites sont toujours parallèles aux tangentes en $A,B,C$ au cercle circonscrit. Ainsi, on peut supposer que $M$ n'est pas sur le cercle circonscrit ou que, s'il y est, les trois droites sont les tangentes en $A,B,C$ au cercle circonscrit; peu importe, ces $3$ tangentes ayant peu de chances d'être concourantes.
Amicalement. Poulbot

Bonsoir Pierre
En suivant ton idée, on peut aussi prouver que, si d'un point $N$ quelconque, on mène l'antiparallèle à $BC$ qui coupe $AB$ et $AC$ en $a_{b}$ et $a_{c}$, ..., le centre radical des $3$ cercles $BCa_{b}a_{c},CAb_{c}b_{a},ABc_{a}c_{b}$ est le produit cévien $K\cdot N$ ($K$ point de Lemoine); il suffit d'écrire l'équation de ces cercles.
Alors, évidemment, quand les $3$ cercles passent par $M$, ...
Cordialement. Poulbot

Bonsoir Rescassol et merci
Je présume qu'avec ton équation, il ne doit pas être évident de montrer que ce lieu est non vide si et seulement si $ABC$ est obtusangle (sauf si on arrive à le caractériser géométriquement de façon simple).
Par contre, le lieu du point $N$ ne devrait pas poser de problème.
Amicalement. Poulbot

Bonjour
Revenons à nos moutons initiaux.
L'équation d'un cercle en barycentriques est $a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\left( \pi _{A}x+\pi _{B}y+\pi _{C}z\right) \left( x+y+z\right) =0$ où $\pi _{A},\pi _{B},\pi _{C}$ sont les puissances de $A,B,C$ par rapport au cercle.

Si $M=\left( p:q:r\right) $, le cercle $MBC$ a pour équation $a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\alpha x\left( x+y+z\right) =0$ où $\alpha =\dfrac{a^{2}qr+b^{2}rp+c^{2}pq}{p\left( p+q+r\right) }$ (puisqu'il passe par $M$).
On a donc $a_{b}=\left( c^{2}-\alpha :\alpha :0\right) ,a_{c}=\left( b^{2}-\alpha :0:\alpha \right) $ et la droite $a_{b}a_{c}$ a pour équation $c^{2}y+b^{2}z=\alpha \left( x+y+z\right) $.
En écrivant que cette droite et ses deux sœurs sont concourantes, on trouve l'équation de Pierre $a^{4}S_{a}q^{2}r^{2}+b^{4}S_{b}r^{2}p^{2}+c^{4}S_{c}p^{2}q^{2}=0$.
Rappel $S_{a}=\dfrac{1}{2}\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) =\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos \widehat{A}=2\Delta \cot \widehat{A}$ où $\Delta $ est l'aire de $ABC$.
Il est clair que le lieu de $M$ est l'isogonal du cercle polaire d'équation $S_{a}x^{2}+S_{b}y^{2}+S_{c}z^{2}=0$.
Rappel : le cercle polaire est le seul cercle par rapport auquel $ABC$ est autopolaire; il est centré en l'orthocentre $H$ et est membre du faisceau engendré par le cercle circonscrit et le cercle d'Euler. Il n'est réel que si $ABC$ est obtusangle.
En tout cas, cela permet une définition géométrique simple et une construction facile du lieu $\Gamma $ de $M$.

Comment faire maintenant pour trouver (simplement si possible) le lieu du point commun $N$ aux trois droites quand $M$ décrit $\Gamma $?
Comme on peut le deviner sur la dernière figure de Pierre, il s'agit d'une hyperbole. En fait, elle est centrée au point de Lemoine $K$ de $ABC$ et on pourra en chercher les asymptotes.

Amicalement. Poulbot