Somme des distances aux sommets d'un triangle

uvdose
uvdose
dans Géométrie
Bonjour,

Je pense avoir réussi à montrer (laborieusement) que si $M$ est un point intérieur à un triangle $ABC$, alors :
$MA+MB+MC\leqslant AB+AC+BC-\min(AB,AC,BC)$ .
J'imagine que c'est un résultat classique ? Peut-on envisager une preuve courte et élémentaire (voire élégante) ?

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Je me suis longtemps posé cette question, sous la forme : quel est le maximum de $f(M)=MA+MB+MC$ lorsque $M$ est dans la plaque triangulaire $ABC$ ? Si $BC \leq CA \leq AB$, ce maximum est $f(A)=AB+AC$, ce qui revient à ton inégalité, qui est exprimée de façon plus élégante. Je n'ai pas de référence pour ce résultat. Ma solution repose sur le fait que la fonction $f$ est convexe.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Si $\mathcal E$ est le plan euclidien, si $ f$ est une fonction convexe de $\mathcal E$ dans $\mathbb R$, si $M,P,Q$ sont des points de $\mathcal E$ tels que $M\in [P,Q]$, alors $f(M) \leq \max (f(P),f(Q))$.
    Si $ABC$ est un triangle du plan Si $\mathcal E$, la fonction $M \mapsto f(M)=MA+MB+MC$ est convexe, et la démonstration de l'assertion proposée en découle.

    J'en avais tiré la propriété suivante.
    Un (vrai) triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si, pour tout point $M$ intérieur à ce triangle, on a :
    $MA+MB+MC \leq \frac23 (AB+BC+CA)$.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Stefann
    Stefann
    Le résultat d'uvdose est proposé en exercice dans le livre "Géométriquement vôtre" (1994) de Marie Berrondo-Agrell.
    Je joins un scan de la correction de l'auteur.
  • uvdose
    uvdose
    @Chaurien : merci beaucoup. Dans ma démonstration laborieuse, je tournais autour de ton argument de convexité.

    @Stefann : solution courte, élémentaire et élégante. Pile ce que je cherchais ! Un grand merci.
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui, grand merci à Stefann. Cette contribution nous permet de faire la connaissance de Marie Berrondo-Agrell, que je m'étonne d'avoir ignorée si longtemps. En plus d'une carrière universitaire, elle tient une rubrique d'énigmes mathématiques dans « Valeurs actuelles » et d'autres périodiques, et elle est auteur d'un grand nombre d'ouvrages et d'articles de jeux mathématiques. Et elle a eu quatre enfants. Chapeau !
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il apparaît donc que pour tout point $M$ intérieur à un triangle $ABC$ on a : $MA+MB+MC<AB+BC+CA$.
    On peut se demander si la propriété analogue est vraie pour un quadrilatère plan, convexe, ou « simple », non croisé. Je veux dire : pour tout point $M$ intérieur à un tel quadrilatère $ABCD$ a-t-on nécessairement : $MA+MB+MC+MD<AB+BC+CD+DA$ ? Ici, la réponse est : non.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Une inégalité du même genre due à Erdös.

    $M$ étant intérieur au triangle $ABC$, montrer que, si $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ est le triangle cévien de $M$, on a
    $MA^{\prime }+MB^{\prime }+MC^{\prime }<\max \left( BC,CA,AB\right) $

    Amicalement. Poulbot68894
  • Chaurien
    Chaurien
    Bottema & alii, Geometric Inequalities, Wolter-Noordhoff Publishing, 1969, n° 12. 6, p. 104.
    Une mine, ce livre !
    American Mathematical Monthly, 42 (1935) p. 454 et 44 (1937) p. 400.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Chaurien
    et merci pour les références.
    Je joins la solution astucieuse qu'Erdös a donnée dans le Monthly. La figure utilise ses notations.
    Cordialement. Poulbot68902
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