triangles et parallélogrammes

Je souhaitais partager un très simple exercice de géométrie affine impliquant un triangle et un parallélogramme. Il reprend une idée évoquée dans un fil précédent: trouver le point fixe d’un produit de transformations du plan.

• Problème 1 : Soient $I$, $J$ et $K$ trois points distincts du plan. Montrer qu'il existe trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $I$ soit milieu de $[AB]$, $J$ soit milieu de $[BC]$ et $K$ soit milieu de $[AC]$ et construire ces points.

Notons $s_I$, $s_J$, $s_K$, les symétries centrales de centre respectivement $I$, $J$, $K$.
On veut construire $A$, $B$, $C$ tels que : $$
B = s_I(A), \quad C = s_J(B), \quad A = s_K(C)
$$ Si on montre que $A$ est un point fixe de $s_K \circ s_J \circ s_I$, alors on posera $B=s_I(A)$ et $C=s_J(B)$ et le triangle $(A, B, C)$ sera la réponse au problème.
Il faut donc construire le point fixe de $s_K \ s_J \circ s_I$, la composée de trois symétries (qui est elle-même une symétrie !).

Tout d'abord, $s_J \circ s_I$ est un déplacement comme composée de déplacements.
$I$ est le milieu de $\lbrack P, s_I(P)\rbrack$. Si de plus $P$ est un point fixe de $s_J \circ s_I$, alors $J$ est le milieu de $\lbrack s_I(P) , s_J \circ s_I (P) \rbrack = \lbrack P, s_I(P)\rbrack$. Donc $I=J$, ce qui est exclu.
$s_J \circ s_I$ est un déplacement sans point fixe c’est-à-dire une translation de vecteur : $$
\overrightarrow{I s_J \circ s_I(I)} = \overrightarrow{I s_J(I)} = 2\overrightarrow {IJ}.
$$ Notons $s_J \circ s_I = T _{2 \vec{IJ}}$.
Il reste donc à trouver le point fixe de $s_K \circ T_{2\overrightarrow {IJ}}$.
On calcule l'image par $T$ de $K + \overrightarrow {JI}$ : $$
T_{2\overrightarrow{IJ}}(K + \overrightarrow{JI}) = K + \overrightarrow{JI} + 2\overrightarrow{IJ} = K + \overrightarrow{IJ}
$$ et $$ s_K(K + \overrightarrow{IJ}) = K + \overrightarrow{JI}
$$ En effet : $$
\frac{K + \overrightarrow{JI} + K + \overrightarrow{IJ}}{2} = \frac{2K}{2} = K.
$$ $K + \overrightarrow{JI}$ est le point fixe cherché.

• Problème 2 : on a $A, B, C, D$ quatre points distincts dans le plan. Montrer que le quadrilatère $(I, J, K, L)$ obtenu à partir des milieux des côtés de $(A, B, C, D)$ est un parallélogramme. Étudier la réciproque.

J'en publierai très vite une solution géométrique.
Mais surtout, ces deux problèmes possèdent des solutions exclusivement algébriques.
Après identification du plan au corps $\mathbb{C}$ des complexes (Rescassolisation ?), on traduit les conditions de symétrie vérifiées par le triangle $(ABC)$ pour aboutir à un système de Cramer d'ordre 3 associée à une matrice $M$ dont on calculera le déterminant.
En termes d'algèbre linéaire, la traduction du deuxième problème est plus difficile.

Source: L'oral de maths-Belin Sup

PS. Ces problèmes ont l’avantage de présenter les mérites comparés d'une solution géométrique "pure" et une solution algébrique disons plus... "technocratique". Ils donnent un point de vue très accessible des deux méthodes.
Mais pas de stigmatisation ! Après tout, se munir d’une règle imparfaite et tracer un triangle sur une feuille de papier, n’est-ce pas déjà un peu céder aux contingences ?
Tandis que l’algébrisation des triangles et des cercles est peut-être plus conforme avec l’idée "Platonicienne" de la géométrie que ne le seront jamais les adeptes de la "vieille école".

A mon avis, proposer un exercice sur les triangles tout en se privant de dessiner le moindre triangle est tout simplement absurde. Comment "voir ce qui se passe" quand notre horizon est occupé par un mur d'équations et de matrices ?


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