Convexité et bord
Soit $S$ un convexe du plan.
1) Si $S$ ne contient aucune droite, alors le bord de $S$ est connexe.
2) Si $S$ contient au moins une droite, alors le bord de $S$ contient exactement au plus deux composantes connexes.
Ces faits sont évidents sur des dessins et on imagine pas qu'il puisse en être autrement, mais y a-t-il une preuve formelle ? Je suis débutant en géométrie convexe, je ne vois pas trop comment procéder.
1) Si $S$ ne contient aucune droite, alors le bord de $S$ est connexe.
2) Si $S$ contient au moins une droite, alors le bord de $S$ contient exactement au plus deux composantes connexes.
Ces faits sont évidents sur des dessins et on imagine pas qu'il puisse en être autrement, mais y a-t-il une preuve formelle ? Je suis débutant en géométrie convexe, je ne vois pas trop comment procéder.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Un demi-plan est-il convexe ? Son bord a-t-il deux composantes connexes ?
Cordialement.
Pour le (1), je pense que ça peut aider de considérer des droites d'appui à deux points du bord et de regarder si elles sont parallèles ou non (si non parallèles, $S$ ne peut pas contenir de droite). Ou bien on considère deux points du bord, on prend la droite passant par ces deux points et on la déplace parallèlement. Les points d'intersection du bord et de la droite vont se rapprocher (intuitivement, pour formaliser on prend l'intersection de la droite et de $S$ et on considère le suprémum et l'infimum de ça). …
edit : ou bien ils vont s'éloigner, mais on regarde l'autre côté dans ce cas.
Voici ce que je cherchais à prouver et ce n'était au final vraiment pas facile. Néanmoins j'ai trouvé un article donnant la preuve et même une preuve plus générale. (Ils le font dans le cas de la dimension 3 mais ça se généralise à toute dimension.)
Article