L'aire est effectivement $\displaystyle {15 \over 2} \pi-9 \sqrt{3}.$
En notant les aires par $\displaystyle a,b,c,d,e,f$ et par symétrie et connaissance de l'aire d'un carré de côté $1$ et d'un cercle de rayon $1$, on trouve :
$\displaystyle a={1 \over 2}- {\pi \over 8}-e$
$\displaystyle b ={\pi \over 4}-{1 \over 2} - e$ : c'est l'aire recherchée
$\displaystyle c = {\pi \over 8}$
$\displaystyle d={1 \over 2} - {\pi \over 8}$
$e$
$\displaystyle f = {1 \over 2} - {\pi \over 8} - e.$
Pour calculer $e$ on calcule l'aire sous une courbe : $\displaystyle \int_{0}^{\frac12} dx (1 - \sqrt{1-x^2}) = \int_{0}^{{\pi \over 6}} dt \cos t (1- \cos t) = \sin t -{t \over 2} - {\sin(2t) \over 4} \bigg|_{0}^{{\pi \over 6}}={1 \over 2} - {\pi \over 12} - {\sqrt{3} \over 8} = {f \over 2}.$
On en déduit, par calcul, $\displaystyle e = -{1\over 2} + {\pi \over 24} + {\sqrt{3} \over 4}.$ Puis $\displaystyle b = {5 \pi \over 24} - {\sqrt{3} \over 4}.$
Pour un carré de côté $6$, on multiplie par $6^2$ pour trouver le résultat donné.
$C$ est l'intersection des deux quarts de cercles. $ABC$ est équilaréral.
L'aire au dessus de $AC$ est $6\pi-9\sqrt{3}$, au dessous $\displaystyle{\frac{3}{2} \pi} $
Aire au dessus de $(AC)$= Aire (secteur du disque centre $B$ et d'angle $\pi /3)$ - Aire (triangle équilatéral $ABC$);
Aire au dessous de $(AC)$=Aire (secteur du disque centre $A$ et d'angle $\pi /3-\pi /4)$
N'as-tu rien compris ou pas tout compris? Problème de vocabulaire, de visualisation de mon découpage, de calcul d'angle puis d'aire? Il faut que tu essaies de préciser tes incompréhensions pour qu'on puisse t'aider.
Réponses
L'aire est effectivement $\displaystyle {15 \over 2} \pi-9 \sqrt{3}.$
En notant les aires par $\displaystyle a,b,c,d,e,f$ et par symétrie et connaissance de l'aire d'un carré de côté $1$ et d'un cercle de rayon $1$, on trouve :
$\displaystyle a={1 \over 2}- {\pi \over 8}-e$
$\displaystyle b ={\pi \over 4}-{1 \over 2} - e$ : c'est l'aire recherchée
$\displaystyle c = {\pi \over 8}$
$\displaystyle d={1 \over 2} - {\pi \over 8}$
$e$
$\displaystyle f = {1 \over 2} - {\pi \over 8} - e.$
Pour calculer $e$ on calcule l'aire sous une courbe : $\displaystyle \int_{0}^{\frac12} dx (1 - \sqrt{1-x^2}) = \int_{0}^{{\pi \over 6}} dt \cos t (1- \cos t) = \sin t -{t \over 2} - {\sin(2t) \over 4} \bigg|_{0}^{{\pi \over 6}}={1 \over 2} - {\pi \over 12} - {\sqrt{3} \over 8} = {f \over 2}.$
On en déduit, par calcul, $\displaystyle e = -{1\over 2} + {\pi \over 24} + {\sqrt{3} \over 4}.$ Puis $\displaystyle b = {5 \pi \over 24} - {\sqrt{3} \over 4}.$
Pour un carré de côté $6$, on multiplie par $6^2$ pour trouver le résultat donné.
$C$ est l'intersection des deux quarts de cercles. $ABC$ est équilaréral.
L'aire au dessus de $AC$ est $6\pi-9\sqrt{3}$, au dessous $\displaystyle{\frac{3}{2} \pi} $
Il n'y a pas plus simple? C'est un exercice niveau college
Cordialement
Ma solution est du niveau collège (quatrième?):
Aire au dessus de $(AC)$= Aire (secteur du disque centre $B$ et d'angle $\pi /3)$ - Aire (triangle équilatéral $ABC$);
Aire au dessous de $(AC)$=Aire (secteur du disque centre $A$ et d'angle $\pi /3-\pi /4)$
Edit: correction lapsus
Je suis de niveau collège je n'ai pas compris ces explications
Qui me m'expliquer s'il vous plaît merci
N'as-tu rien compris ou pas tout compris? Problème de vocabulaire, de visualisation de mon découpage, de calcul d'angle puis d'aire? Il faut que tu essaies de préciser tes incompréhensions pour qu'on puisse t'aider.
Cordialement
Paul
et avec un schéma ?
Cordialement
@depasse : très joli le triangle équilatéral... et même les deux aires à ajouter ne sautent pas vraiment aux yeux. Il fallait les voir.
@fm_31 : merci pour la figure, ça aide beaucoup.