Pythagore et complexes

En français on écrit d'habitude « Pythagore », et on écrit « c'est vrai ».
Maintenant si tout ce charabia était supprimé, ce ne serait pas une grosse perte.

Et oui, on a bien un théorème de Pythagore sur un espace hermitien.
La réciproque est d'ailleurs fausse.

Ici, évidemment c'est absurde puisque $i$ n'est pas une longueur (une norme).

Ce fil m'évoque un résultat bien connu :
(a$_1$a$_2$a$_3$) est la projection orthogonale sur $\mathbb{R}^2$ d'un
repère orthonormé de $\mathbb{R}^3$ ssi les affixes des a$_i$ vérifient la relation
$$
a_1^2+a_2^2+a_3^2=0 \qquad\text{équivalente à}\qquad a_1^2+a_2^2 = (ia_3)^2
$$
Sous cette forme, l'ensemble des solutions est paramétrisable comme d'habitude par
$$
a_1=2mn \qquad , \qquad a_2=m^2-n^2 \qquad , \qquad ia_3=m^2+n^2
$$
Je travaille souvent sur papier quadrillé; j'obtiens ainsi quelques images de repères à coordonnées entières.
Par exemple $m=1$ et $n=1+i$ donne
$$
(a_1,a_2,ia_3) = (2+2i,1-2i,1+2i)\qquad a_3 = 2-i
$$
D'où le repère
$$
\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}
$$

le théorème de [large]P[/large]ythagore s'applique sur les longueurs des cotes d,un triangle rectangle

la longueur du nombre imaginaire i égale à 1

pour appliquer le théorème de [large]P[/large]ythagore sur le triangle ABO rectangle en l'origine du repère O tels que : A(1,0) et B(0,1)

on i=(0,1) le module de i est 1 qui est la longueur du coté [OB].

puis on applique le carré sur le module de i non sur i pour trouver la longueur de l'hypoténuse en appliquant le théorème de [large]P[/large]ythagore.

[Pythagore prend toujours une majuscule. AD]