Le faisceau bitangent

Bonjour,

CAVEAT: il vaut mieux considérer que les résultats du présent message concernent le deuxième foyer, avec $F_2(\tau)=F(\beta\,\gamma/\tau)$. J'ai donc rajouté des indices "2" là où ils sont utiles.

Le milieu de $\left[A,R\right]$ est effectivement le tangentiel des ombilics (aka $F_{s}$, le foyer singulier). Et en plus, c'est le foyer dual du point réel à l'infini de $\Gamma_{3}$: c'est donc le foyer de la parabole du faisceau. Pour ce qui est des constructions, la courbe est unicursale puisqu'elle admet un point double. Coupant par une droite tournant autour de $A$ on obtient la paramétrisation principale: \[ F_2\left(\tau\right)\simeq\left[\begin{array}{c} \dfrac{1}{\tau}\,\dfrac{\left(\gamma\,\beta-\alpha^{2}\right)\tau^{2}+\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\gamma\,\beta\right)\tau-\beta\,\gamma\left(\alpha-\gamma\right)\left(\alpha-\beta\right)}{\left(\beta+\gamma-2\,\alpha\right)\tau+\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\gamma\,\beta}\\ 1\\ \dfrac{1}{\alpha\,\beta\,\gamma}\,\dfrac{\left(\alpha^{2}-\gamma\,\beta\right)\beta\,\gamma+\left(\beta+\gamma-2\,\alpha\right)\beta\,\gamma\,\tau-\left(\alpha-\gamma\right)\left(\alpha-\beta\right)\tau^{2}}{\left(\beta+\gamma-2\,\alpha\right)\tau+\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\gamma\,\beta} \end{array}\right] \]
Ensuite de quoi, on utilise massivement la condition d'alignement des points $F_2\left(\tau\right),F_2\left(\kappa\right),F_2\left(\delta\right)$: \[ {\rm align_2}=\beta\gamma\left(2\,\alpha-\beta-\gamma\right)\left(\left(\tau\,\kappa+\kappa\,\delta+\delta\,\tau\right)+\beta\gamma\right)-\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)\left(\left(\kappa+\tau+\delta\right)\beta\,\gamma+\tau\,\kappa\,\delta\right)=0 \] Et alors, les diverses constructions

1. Utilisant un alignement sur $F_{s}$ (the tau+kappa property) msg-1555420
   
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2. Utilisant un alignement sur $tang(F_{s})=tang(F_{\infty})$ et le faisceau tangent à la médiane en A. msg-1555430.
   
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3. Utilisant la transformation isogonale sur le A-cercle d'Apollonius. msg-1555440
   
   $\,$
4. Utilisant le cercle circonscrit
   
   $\,$
5. Connaissant le centre de la conique. msg-1555596
   
   $\,$
6. Utilisant le cercle cissoïdal msg-1555348

conduisent à des paramétrisations qui se déduisent de $F\left(\tau\right)$ par une homographie sur le paramètre.

L'enveloppe de l'axe focal est la parabole de foyer $R$ et de directrice la médiane $AM$.

Cordialement, Pierre

Bonjour,

Partons de $\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\Sw{S_{\omega}} \def\ptv{~;~}$ $
F\left(t\right)\simeq[2\,\Sb\,t^{2}-2\,\Sc\,t\ptv b^{2}t-c^{2}t^{3} \ptv b^{2}-c^{2}t^{2} ]
$ et de la condition d'alignement: \[ \Sc\,c^{4}pqr-\Sb\,b^{2}c^{2}\left(pq+qr+rp\right)+\Sc\,b^{2}c^{2}\left(p+q+r\right)-\Sb\,b^{4}=0 \] Une identification montre que les paramètres des ombilics sont: $t_{x},t_{y}=\left(-\Sa\mp2\,iS\right)/c^{2}$. Le point visible à l'infini est obtenu en faisant $q=t_{x},\;r=t_{y}$. Il vient $t_{\infty}=1$, d'où le point $F_\infty \simeq 2-1$. Le foyer singulier, aka le tangentiel commun aux ombilics, s'obtient en faisant $q=t_{x},\;r=t_{x}$. Il vient $t_{s}=b^{2}/c^{2}$, d'où le point $F_{s}\simeq2\Sa:b^{2}:c^{2}$.

Lorsque l'on écrit que les points $F\left(p\right)$ et $F\left(q\right)$ ont même tangentiel, il vient: $p\,q=b^{2}/c^{2}$. On vérifie les valeurs prises par $t_{x}\,t_{y}$ et par $t_{\infty}\,t_{s}$. En utilisant la paramétrisation $F\left(\tau\right)$, ces calculs sont un peu plus expéditifs, puisque $\tau_{x}=\infty$ et $\tau_{y}=0$.

Passons à une propriété amusante: deux points de la cubique focale ont le même tangentiel s'ils sont les foyers de même nature d'une même conique, tandis que les deux tangentiels associés à une même conique sont alignés sur le foyer singulier. La direction $\omega^{2}:0:1$ de cette droite d'alignement est homographiquement liée au paramètre $\lambda$ par: \[ \omega^{2}=\frac{\alpha\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)}{\beta\,\gamma\,\left(\beta+\gamma-2\,\alpha\right)}\,\dfrac{\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{2}\lambda-2\,\beta\,\gamma\,\left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha-\gamma\right)}{\left(\beta-\gamma\right)^{2}\lambda-2\,\left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha-\gamma\right)} \]

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Cissoïdons donc. Le cercle cissoïdal est le cercle centré en $\Omega'=(3A-R)/2$ et passant par $A$. Une droite mobile passant par $A$ met en correspondance les points $F_\tau$ et $P_\tau$. On considère la collineation $
\def\umbx{\Omega_{x}}
\def\umby{\Omega_{y}}
$ $[\umbx,\umby, F_\tau,F_\kappa] \mapsto [\umbx,\umby, P_\tau,P_\kappa] $. C'est une similitude. On calcule son troisième point fixe, et l'on fait ensuite $\kappa=\tau$. Cela donne un point $\sigma_1(\tau)$. On substitue $\tau = \beta\,\gamma/\tau$ et cela donne $\sigma_2(\tau)$.
Propriété remarquable: les $\sigma(\tau)$ sont sur le cercle cissoïdal.

Et alors la similitude centrée en $\sigma_1(\tau)$ et qui envoie $P_\tau$ sur $F_\tau$ envoie tout point de la tangente en $P$ sur un point de la tangente en $F$. Comme la tangente en $P$ est connue, nous sommes rendus. L'intersection des deux droites donne le tangentiel des foyers visibles $T_\lambda$. Quant à l'autre tangentiel, il est à l'alignement de $F_s$.

Une remarque:
Le point $A$ coupe la cubique visible en une "petite boucle" (celle contenant le foyer singulier $F_s$) et une "grande boucle" (celle contenant le point visible à l'infini).
Pour un centre $O_\lambda$ donné sur la médiane $AA'$, il y a quatre foyers sur la cubique focale, deux visibles, nommés $F_1,F2$, et deux autres nommés $F_3,F_4$. Il y a en permanence un foyer visible sur la petite boucle, et un autre sur la grande boucle. Preuve: les paramètres vérifient $\tau\kappa=\beta \gamma$ tandis que les paramètres de $A$ sont $\pm \sqrt{\beta \gamma}$

Une question: caractériser les coniques dont le tangentiel des foyers visibles est sur la petite boucle.

Il y a tout juste une petite difficulté: il reste à trouver une construction efficace de $\sigma_1(\tau)$, parce que ses coordonnées ne sont pas très simples.

En outre, un $\sigma_1$ donné correspond à deux foyers différents (leurs paramètres se correspondent par une homographie involutive). Que peut-on en dire ?

Par ailleurs, un autre cercle passant par $A$ est connu, et l'on peut remarquer que $A F_1$ coupe le circonscrit en un point qui est bien intéressant lui aussi !



Cordialement, Pierre.

Bonjour.

Concernant la paramétrisation que j'ai donnée (en véritable politcor-novlangue, cela devrait s'écrire donnée.é.$\epsilon$ mais j'ai la.cosse.le.baupin.it.lazzy). Il vaut mieux définir un point menant sur le cercle circonscrit $K\simeq\tau:1:1/\tau$, et couper la cubique par la droite $AK$. Alors le paramètre de $B$ est $\beta$, et celui de $C$ est $\gamma$. Bref, dans ce que j'ai donné http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1553040,1558266#msg-1558266, $\tau$ est le paramètre du deuxième foyer.

Pappus demande comment faire ces calculs ab initio ? $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\umbx{\Omega_{x}} \def\umby{\Omega_{y}}$ On se place dans le plan projectif complexe, c'est à dire l'espace où les points s'écrivent $\vz:\vt:\vzz$ et la droite de l'infini s'écrit $\left[0;1;0\right]$. On paramétrise les points $A,B,C$ par $\alpha,\beta,\gamma$ sur le cercle unité, de façon à ce que le passage au conjugué reste une opération algébrique, et l'on déroule les calculs.

On part de la conique tangentielle qui est décrite par: \[ \boxed{\mathcal{C}_{z}^{*}}\doteq\left[\begin{array}{ccc} \alpha & \beta & \gamma\\ 1 & 1 & 1\\ \alpha^{-1} & \beta^{-1} & \gamma^{-1} \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda\\ 0 & \lambda & 0 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc} \alpha & 1 & \alpha^{-1}\\ \beta & 1 & \beta^{-1}\\ \gamma & 1 & \gamma^{-1} \end{array}\right]\simeq\left[\begin{array}{ccc} 2\,\beta\,\gamma\,\lambda+\alpha^{2} & \beta\,\lambda+\gamma\,\lambda+\alpha & 1+\dfrac{\gamma\,\lambda}{\beta}+\dfrac{\beta\,\lambda}{\gamma}\\ \beta\,\lambda+\gamma\,\lambda+\alpha & 2\,\lambda+1 & \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{\lambda}{\beta}+\dfrac{\lambda}{\gamma}\\ 1+\dfrac{\gamma\,\lambda}{\beta}+\dfrac{\beta\,\lambda}{\gamma} & \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{\lambda}{\beta}+\dfrac{\lambda}{\gamma} & \dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{2\lambda}{\beta\,\gamma} \end{array}\right] \]

On applique la méthode de Plucker, avec $\umbx\simeq1:0:0$ et $\umby\simeq0:0:1$. Cela conduit à une séparation des variables: \[ \dfrac{\left(\vt\gamma-\vz\right)\left(\vt\beta-\vz\right)}{\left(\vt\alpha-\vz\right)^{2}}=\dfrac{-1}{2\lambda}=\dfrac{\alpha^{2}}{\beta\,\gamma}\,\dfrac{\left(\vt-\vzz\,\gamma\right)\left(\vt-\vzz\,\beta\right)}{\left(\vt-\alpha\,\vzz\right)^{2}} \] Cela donne la propriété des bissectrices en hors d'oeuvre, et l'équation implicite comme plat principal. On écrit alors que $A,K,F$ sont alignés, et le résultat suit. On trouve \[ F_{\tau}\simeq\left[\begin{array}{c} \dfrac{\left(\alpha-\gamma\right)\left(\alpha-\beta\right)\tau^{2}+\alpha\,\left(2\,\beta\,\gamma-\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma\right)\tau+\beta\,\gamma\,\left(\alpha^{2}-\beta\,\gamma\right)}{\left(2\,\beta\,\gamma-\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma\right)\tau+\beta\,\gamma\,\left(2\,\alpha-\beta-\gamma\right)}\\ 1\\ \dfrac{1}{\alpha\,\tau}\,\dfrac{\left(\beta\,\gamma-\alpha^{2}\right)\tau^{2}+\beta\,\gamma\,\left(2\,\alpha-\beta-\gamma\right)\tau+\beta\,\gamma\,\left(\alpha-\gamma\right)\left(\alpha-\beta\right)}{\left(2\,\beta\,\gamma-\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma\right)\tau+\beta\,\gamma\,\left(2\,\alpha-\beta-\gamma\right)} \end{array}\right] \] \[ \mathrm{align}=\left(\beta\,\gamma+\delta\,\kappa+\delta\,\tau+\kappa\,\tau\right)\left(2\,\beta\,\gamma-\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma\right)+\left(\beta\,\gamma\,\left(\delta+\kappa+\tau\right)+\tau\,\kappa\,\delta\right)\left(2\,\alpha-\beta-\gamma\right)=0 \] ... tandis que les formules du message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1553040,1558266#msg-1558266 concernent en fait le deuxième foyer.

Au passage une n+1ème construction de la cubique. On se donne le point $K$ sur le circonscrit. On trace les symétriques $B',C'$ de $B,C$ par rapport à la droite $AK$. Et alors $F=BC'\cap B'C$.

En posant $A=\alpha$, $P_b=\beta$, $P_c=\gamma$, et $P_1=\tau$, il est évidemment possible de remouliner le tout. Il suffit de remarquer que l'asymptote $(L)$ est la mediatrice de $P_bP_c$. Et alors, cette asymptote se retrouve encombrée par toute une enchilada de points directeurs.

Cordialement, Pierre