Abscisse curviligne/changement de paramètre
Bonjour,
Voici mon problème. Si je me donne une courbe paramétrée $t\mapsto M(t)$, je sais qu'une abscisse curviligne $s$ vérifie $s'(t) = \| M(t) \|$. De plus, si on a une courbe paramétrée par abscisse curviligne $u \mapsto M(u)$ alors la courbure au point de paramètre $u$ est donnée par la relation
$ \vec{T}'(u) = \gamma(u) \vec{N}(u)$
où $(M(u), \vec{T}(u), \vec{N}(u))$ est le repère de Frénet au point de paramètre $u$.
Je vois dans beaucoup de cours la formule suivante $$\frac{d \vec{T}}{d t} = \frac{d \vec{T}}{d s} \frac{d s}{d t}.
$$ Je ne comprends pas cette formule. En quels points sont calculées ces dérivées ? Comment obtient-on cette relation ?
Voici mon problème. Si je me donne une courbe paramétrée $t\mapsto M(t)$, je sais qu'une abscisse curviligne $s$ vérifie $s'(t) = \| M(t) \|$. De plus, si on a une courbe paramétrée par abscisse curviligne $u \mapsto M(u)$ alors la courbure au point de paramètre $u$ est donnée par la relation
$ \vec{T}'(u) = \gamma(u) \vec{N}(u)$
où $(M(u), \vec{T}(u), \vec{N}(u))$ est le repère de Frénet au point de paramètre $u$.
Je vois dans beaucoup de cours la formule suivante $$\frac{d \vec{T}}{d t} = \frac{d \vec{T}}{d s} \frac{d s}{d t}.
$$ Je ne comprends pas cette formule. En quels points sont calculées ces dérivées ? Comment obtient-on cette relation ?
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Réponses
C'est la formule habituelle de dérivation d'une fonction composée, s étant une fonction de t.
"En quels points sont calculés ces dérivées ?" à priori, pour des valeurs de t qui sont dans le domaine de définition.
Cordialement.
Soit la fonction vectorielle $s\mapsto V(s)$ définie sur un intervalle $I$ et $s=\varphi(t)$ un changement de paramètre.
On considère la fonction vectorielle: $W=V\circ \varphi$
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées:
$W'(t)= \varphi'(t)V'(\varphi(t))$
Les physiciens et peut-être des mathématiciens écrivent cette relation: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{ds}\dfrac{ds}{dt}$.
C'était avant la révolution bourbakiste.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Prière d'ôter l'accent du patronyme de Frenet.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Frenet.html