Solides $P_{20}\subset P_8$

L'octaèdre est constitué de quatre tétraèdres égaux. Soit $T$ le volume d'un tel tétraèdre.
On passe de l'octaèdre à l'icosaèdre en enlevant douze petits tétraèdres (deux par sommet de l'octaèdre) images des tétraèdres précédents par une transformation affine de déterminant $\varphi^{-1}\times \varphi^{-2}\times \varphi^{-2}=5\varphi-8$, où $\varphi$ est le nombre d'or.
Le volume de l'icosaèdre est donc
$$4T-12\times (5\varphi-8) T=(100-60\varphi)T=(25-15\varphi)\,4T\;.$$
Le rapport entre les deux volumes est donc $25-15\varphi \simeq 0,72949$.

PS. Un gros tétraèdre et un petit. Les points bleus sont des sommets de l'octaèdre, les points noirs des sommets de l'icosaèdre.