Produit cévien et hyperbole de Ludwig Kiepert

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonsoir
Je propose se nouveau problème.
Soit P et Q, ne se trouvant pas sur les côtés du triangle ABC. Si P et Q sont conjugués isogonaux par rapport au triangle ABC, alors montrer que le produit cévien de leurs compléments se trouve sur l'hyperbole de Kiepert.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,
    clc, clear all, close all

syms s1 s2 s3;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

syms p pB

[q qB]=TransfoIsogonale(s1,s2,s3,p,pB);
[z zB]=ProduitCevien(s1,s2,s3,(s1-p)/2,(s1-q)/2,(s1B-pB)/2,(s1B-qB)/2);
Nul=factor((s2^2-3*s1*s3)*z^2-s3^2*(s1^2-3*s2)*zB^2+(4*s1^2*s3-s1*s2^2-3*s2*s3)*z-s3*(4*s2^2-s1^2*s2-3*s1*s3)*zB+(s2^3-s1^3*s3));
% Égal à 0, donc c'est gagné

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Et une figure:

    2rrtdmb.png

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir Rescassol et merci de ta contribution.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Bouzar
    Bien plus simple : que dire si, dans ton énoncé, on remplace conjugués isogonaux par conjugués isotomiques?
    Amicalement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Ne retomberait-on pas sur $G$ par hasard ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol et merci
    Effectivement le produit cévien des compléments de deux points isotomiques est le centre de gravité $G$.
    Je présume que ce n'est pas le genre de résultat qui convient le mieux à Morley.
    Avec la méthode barycentrique, chère à Bouzar, il suffit d'utiliser le fait que
    l'isotomique du produit cévien $\left( x:y:z\right) \ast \left( x^{\prime }:y^{\prime }:z^{\prime }\right) $ est $\left( yz^{\prime }+zy^{\prime }:zx^{\prime }+xz^{\prime }:xy^{\prime }+yx^{\prime }\right) $.
    Une preuve synthétique est probablement envisageable.
    Amicalement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Oui, Poulbot, Morley n'est pas très adapté à l'isotomie qui est affine, mais j'ai quand même son expression, et ça fonctionne.
    Cette expression de l'isotomie est assez compliquée.

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Poulbot wrote : "Effectivement le produit cévien des compléments de deux points isotomiques est le centre de gravité $G$; une preuve synthétique est probablement envisageable"
    C'est immédiat si l'on sait que le produit cévien $P\ast Q$ est le quatrième point commun aux coniques circonscrites par rapport auxquelles $P$ et $Q$ sont conjugués.
    En d'autres termes, $M=P\ast Q\Longleftrightarrow $ $P$ et $Q$ sont conjugués par rapport aux paires de droites $\left( BC,AM\right) ,\left( CA,BM\right) ,\left( AB,CM\right) $.
    En l'occurrence, si $P^{c}$ et $Q^{c}$ sont les complément de deux points isotomiques $P$ et $Q$ et $A^{\prime }$ le milieu de $\left[ BC\right] $, les droites $A^{\prime }P^{c}$ et $AP$ étant parallèles, ainsi que les droites $A^{\prime }Q^{c}$ et $AQ$, le faisceau $\left( BC,AG,A^{\prime }P^{c},A^{\prime }Q^{c}\right) $ est harmonique.
    Amicalement. Poulbot
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