Règle et Compas

Si tu ne vois pas dis le.

Peut être qu'il va falloir faire un peu de manipulation algébrique pour trouver $\cos {\pi \over 5}$.

La question que j'ai posé concerne un carré inscrit dans un cercle et non pas dans un pentagone

C'est très basique comme question

Hello ToboRockeur !

Je me place dans le cercle unité de $\C$ et je prend $\zeta := \exp \frac{2i \pi}{5} $.

Alors $\zeta^5=1$ donc $\zeta^5-1=0$. De la factorisation : $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ on en déduit (puisque $\zeta \ne 1$) :
$$
\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1 = 0
$$
Et également (manipulation algébrique, c'est une ruse concernant les polynômes dont les coefficients sont symétriques) que $\zeta$ est une solution de (on factorise par $x^2$) $$ x^2+x+1+{1 \over x} + {1 \over x^2} = 0 \qquad (\infty)$$

Mais nous ce que je veux calculer c'est $\cos \frac{2\pi}{5}$ ; on va déduire de $(\infty)$ un relation pour $ \omega = 2 \cos \frac{2\pi}{5}$
On a : $\omega = \zeta+{1 \over \zeta}$.
et également :
$$
w^2 = \left( \zeta+{1 \over \zeta} \right)^2 = x^2+\frac{1}{x^2} + 2
$$
et le membre de gauche de $(\infty)$ prend la forme :
$$
x^2+x+1+{1 \over x} + {1 \over x^2} = \left( x^2+ {1 \over x^2} \right) + \left(x+{1 \over x} \right) +1 = \left( \omega^2-2 \right)+ \left( \omega \right) + 1
$$
Et on obtient de $(\infty)$ que : $2 \cos \frac{2\pi}{5}$ est une solution de
$$
\omega^2 +\omega -1 = 0
$$

Presque le nombre d'or ::o

On donne un cercle C de centre o et un point a.
Construire au compas seul les sommets b, c, d d'un carré (abcd) inscrit dans C.
On suppose que le rayon de C est 1.

(1) Tracer le cercle (a, o) càd de centre a passant par o. (1) coupe C en u et v. La distance |uv| est $\sqrt{3}$.

(2) Le cercle (u, o) recoupe (1) en w.

(3) Le cercle (v, u) recoupe C au point c antipode de a sur C.

(4) Le cercle (w, o) coupe (3) en x et un autre point. La distance |ax| est $\sqrt{2}$.

(5) Le cercle (a,x) coupe C en b et d cherchés.