Espace projectif

nidal.sabi · November 2017

Salut les mathématiciens,
En révisant mon cours de géométrie différentielle j'ai eu du mal à montrer qu'un espace projectif $P^n(\mathbb{K})$ est une variété topologique ...
Je sais qu'en utilisant la relation d'équivalence en aura un espace quotient et une topologie quotient pour laquelle l'application $\pi$ est continue.
Ma question comment doit je montrer que l'ensemble des classes d'équivalences $P^n(\mathbb{K})$ est localement euclidien et que sa topologie est à base dénombrable. (:P)

pappus · November 2017

Bonjour
$\mathbb P^n(\mathbb K)$ est un quotient de $\mathbb K^{n+1}\setminus \{0\}$ par une application $\pi$ ouverte.
Donc si $(U_i)_{i\in \mathbb N}$ est une base dénombrable de $\mathbb K^{n+1}\setminus \{0\}$, alors les $(\pi(U_i))_{i\in \mathbb N}$ forment aussi une base dénombrable de $\mathbb P^n(\mathbb K)$ puisque $\pi$ est ouverte.
Amicalement
[small]p[/small]appus

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