Quelle est l'équation des tangentes au cercle de centre $O$ et de rayon $r >0$ passant par $(x_0,y_0)$, point du cercle, dans le plan cartésien $(x,y)$ ? Un truc comme $xx_0 + yy_0=r^2$, non ? On écrit alors que cette droite passe par le point $(3,0).$ On a donc une relation entre $x_0$ et $y_0$, quelle est l'autre relation ? Quelles sont les solutions ? Fais un dessin.
Heu .... il y a une infinité de cercles de centre (3,0), de rayons très variables ...
Il serait bon, Topotopo, que tu mettes en œuvre une des preuves proposées par Fm_31 et YvesM, pour l'instant tu perds ton temps ici. Laisse tomber celle de Fluorhydrique, non justifiée et bien plus lourde (il adore les calculs compliqués).
Pour celle de YvesM, tu peux prendre une équation de droite de la forme y=ax+b, puisque la "verticale" en (3,0) ne coupe pas le cercle (ses points sont à plus de 2 de l'origine). Et l'équation des intersections droite/cercle a une racine double pour les tangentes (tangente = 1 point d'intersection et un seul).
... à cause de la fonction sec(voir cours de trigo)
les deux cercles orthogonaux et sécants en $V$ et $W$
celui dont le centre est (0,0) est de rayon 2 et celui dont le centre est (3,0) est de rayon $\sqrt {5}$
On cherche un point $B.$ On note $x,y$ ses coordonnées. Alors la pente de la droite $OB$ vaut $p=?$. On nous a donné un point $A$ de coordonnées $\left(0,3\right)$. Alors la pente de la droite $AB$ vaut $q=?$. Que sait-on sur les droites $OB$ et $AB$ ? Que sait on sur les pentes $p,q$ ? Et enfin, que sait-on d'autre (on a besoin de deux équations, puisqu'il y a deux inconnues) ?
Une autre méthode : les droites qui passent par le point $(3,0)$ (sauf l'axe des $x$, qui n'est visiblement pas tangent au cercle) sont les droites qui ont une équation de la forme $x-3+a\,y=0$. Il reste à exprimer que la distance de l'origine à cette droite, soit $\dfrac3{\sqrt{1+a^2}}$, vaut $2$.
Pour moi , ce n'est pas une rechercher . J'exprime les coordonnées du point de tangence le plus simplement possible .
Et il me semble que le plus simple est en coordonnées polaires B (2,$\alpha$)
Si l'on épure la figure de tout ce qui l'encombre, il suffit de lire sur la figure la pente de la droite $AB$. On a $BH/AH=OB/BA$, et c'est fini. Introduire la tangente d'un angle pour éviter de remarquer que cette ligne trigonométrique décrit le comportement d'une vraie droite vraiment tangente à un vrai cercle, cela ne semble pas raisonnable. Par ailleurs, la contemplation d'une demi-figure ne fournit que la moitié de la solution. En effet, il y a deux points de contact. Et donc $p=\pm 2/\sqrt 5$.
Réponses
tu peux calculer la pente de la droite , puis son équation .
Cordialement
Quelle est l'équation des tangentes au cercle de centre $O$ et de rayon $r >0$ passant par $(x_0,y_0)$, point du cercle, dans le plan cartésien $(x,y)$ ? Un truc comme $xx_0 + yy_0=r^2$, non ? On écrit alors que cette droite passe par le point $(3,0).$ On a donc une relation entre $x_0$ et $y_0$, quelle est l'autre relation ? Quelles sont les solutions ? Fais un dessin.
Bonjour
en notant $(V,O')$ et $(W,O')$ ces deux droites sécantes au cercle de centre $(0,0)$ et de rayon 2
ces deux droites sont sécantes en $O'=(3,0)$
alors $V$ et $W$ appartiennent à un cercle de centre $O'=(3,0)$
et de rayon $R'=\sqrt {5}$
ce cercle est orthogonal à l'autre
c'est $R'=\sqrt {5}$
Il serait bon, Topotopo, que tu mettes en œuvre une des preuves proposées par Fm_31 et YvesM, pour l'instant tu perds ton temps ici. Laisse tomber celle de Fluorhydrique, non justifiée et bien plus lourde (il adore les calculs compliqués).
Pour celle de YvesM, tu peux prendre une équation de droite de la forme y=ax+b, puisque la "verticale" en (3,0) ne coupe pas le cercle (ses points sont à plus de 2 de l'origine). Et l'équation des intersections droite/cercle a une racine double pour les tangentes (tangente = 1 point d'intersection et un seul).
Cordialement.
les deux cercles orthogonaux et sécants en $V$ et $W$
celui dont le centre est (0,0) est de rayon 2 et celui dont le centre est (3,0) est de rayon $\sqrt {5}$
pour le cercle trigo(attention son rayon est 1 là)
si on sait que $O'=(o_x,o_y)$ est le centre d'un cercle orthogonal à lui alors son rayon à lui sera
$\sqrt {o_x^2+o_y^2-1}$
à cause de la fonction sécante
et ici pour ton problème j'ai obtenu $\sqrt {5}=2\sqrt {(1.5)^2-1}$
voilà
On cherche un point $B.$ On note $x,y$ ses coordonnées. Alors la pente de la droite $OB$ vaut $p=?$. On nous a donné un point $A$ de coordonnées $\left(0,3\right)$. Alors la pente de la droite $AB$ vaut $q=?$. Que sait-on sur les droites $OB$ et $AB$ ? Que sait on sur les pentes $p,q$ ? Et enfin, que sait-on d'autre (on a besoin de deux équations, puisqu'il y a deux inconnues) ?
Cordialement, Pierre.
édit et du coup B=(1.333333....,1.4907119....)
Donc $\theta = Atan (\frac{2}{\sqrt{5}})$
L'ordonnée de B est la projection de AB sur l'axe des ordonnées
L'abscisse de B est l'abscisse de A (3) moins la projection de AB sur l'axe des abscisse (AB cos $\theta$).
Et comme AB = ....
Et il me semble que le plus simple est en coordonnées polaires B (2,$\alpha$)
Si l'on épure la figure de tout ce qui l'encombre, il suffit de lire sur la figure la pente de la droite $AB$. On a $BH/AH=OB/BA$, et c'est fini. Introduire la tangente d'un angle pour éviter de remarquer que cette ligne trigonométrique décrit le comportement d'une vraie droite vraiment tangente à un vrai cercle, cela ne semble pas raisonnable. Par ailleurs, la contemplation d'une demi-figure ne fournit que la moitié de la solution. En effet, il y a deux points de contact. Et donc $p=\pm 2/\sqrt 5$.
Cordialement, Pierre.