Côtés et rayon inscrit rationnels.

Si les côtés d'un triangle sont respectivement $(y+z), (z+x), (x+y)$, le rayon inscrit est
$$
\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}
$$
On est ramené à l'équation diophantienne :
$xyz = n^2(x+y+z)$ sur $\mathbb{Q}_+^*$
dont les solutions sont notées $(n,x,y,z)$.
On remarque que l'ensemble des solutions est stable par les homothéties de rapport rationnel;
il contient $(1,1,2,3)$, $(4,6,7,8)$ et $(4/3,1,4,4)$.

En substituant $x=1/u$, $y=1/v$, $z=1/w$, on est ramené à rendre carré $vw+wu+uv$.
Si $u=bc/a$, $v=ca/b$, $w=bc/a$, alors $vw+wu+uv = a^2+b^2+c^2$
On rend carrée cette expression en choisissant un point sur la sphère unité de $\mathbb{Q}_+^3$, tel
$$
\frac{1}{1+m^2+n^2}\begin{pmatrix} 2m\\2n\\1-m^2-n^2 \end{pmatrix}
$$

Tout ça est très joli, mais je n'arrive pas à obtenir les solutions en exemple avec des valeurs rationnelles de $m$ et $n$, je m'encouble sur un tas de racines carrées.

Quelqu'un a une idée ?