Espaces tangents à une fibre

Bonsoir,

Pour placer le contexte de ma question, je rappelle la proposition suivante :

Proposition : Soient $M$, $N$ deux variétés et $f:M\longrightarrow N$ lisse. Si $c\in N$ est tel que $f$ est de rang constant sur un voisinage de $f^{-1}(c)$, alors $V:=f^{-1}(c)$ est une sous-variété de $M$ et de plus pour tout $p\in f^{-1}(c)$ on a $T_pV=ker T_pf$.

Je me pose maintenant la question suivante. Soient $M$, $N$ deux variétés, $f:M\longrightarrow N$ lisse et $c\in N$. Si on suppose que $V:=f^{-1}(c)$ est une sous variété de $M$, a-t-on que $T_pV=ker T_pf$ pour tout $p\in f^{-1}(c)$?

En fait, pour $p\in f^{-1}(c)$ l'inclusion $T_pV\subseteq ker T_pf$ est toujours vraie. Mais qu'en est-il de l'autre? Cela revient bien sûr à montrer que la dimension de $V$ au voisinage de $p$ est celle du noyau de $T_pf$.

Une idée?

edit : modification du titre.