Pieds
On donne le sommet A d'un triangle (ABC) et les pieds H, S, M de la hauteur,
respectivement de la bissectrice et de la médiane issus de A.
Quelques équations bicarrées donnent les positions de B et C,
On doit donc pouvoir les construire à la règle et au compas.
Comment ? je n'y arrive pas.
respectivement de la bissectrice et de la médiane issus de A.
Quelques équations bicarrées donnent les positions de B et C,
On doit donc pouvoir les construire à la règle et au compas.
Comment ? je n'y arrive pas.
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Réponses
Comme le dit GaBuZoMeu, $H$ est inutile.
Quant à la construction, elle n'est pas bien compliquée : la perpendiculaire en $M$ à $MS$ (médiatrice de $\left[ BC\right] $) coupe $AS$ en $D$ (qui est sur le cercle $ABC$); le centre du cercle $ABC$ est donc sur cette perpendiculaire et sur la médiatrice de $\left[ AD\right] $.
Amicalement. Poulbot
une variante : si $N$ est un point de la droite $(BC)$, qui est connue, la droite symétrique de $(AN)$ par rapport à $(AS)$ recoupe $(BC)$ en un point $N_0$ ; si $N'$ désigne le symétrique de $N_0$ par rapport à $M$, alors $N\mapsto N'$ est une homographie de $(BC)$ dont les points fixes sont $B$ et $C$. On saura les construire à partir des constructions des images respectives de deux points $N_1$, $N_2$ quelconques de $(BC)$. Bien sûr, cela exclut le cas d'un triangle isocèle ($M=S=H$ fait de cette homographie l'identité ; même dans ce cas toutefois, la donnée de $H$ n'apporte rien, puisque $S=M$ implique $H=S$ et l'on devra se contenter de tracer $(BC)$).
Cordialement, j__j
Soient $H(0;0),A(0;1),M(m;0),S(s;0),B(m-t;0),C(m+t;0)$.
Alors $t=\sqrt{\dfrac{(m - s)(ms + 1)}{s}}$.
Cordialement,
Rescassol
Trouver une CNS (très simple) sur les points $A,S,M$, supposés distincts, pour que le problème de Soland ait une solution. (Il en a alors une seule, à la permutation près de $B$ et $C$)
Amicalement. Poulbot
Après le calcul de Rescassol, les points B et C sont évidemment constructibles. Je suis encore à la rechreche d'une construction plus simple.
Question :
Quel est la composée d'une symétrie axiale suivie d'une symétrie centrale dont le centre n'appartient pas à l'axe de la première ?
Je crois que c'est une symétrie glissée, mais peut-on la caractériser précisément ?
Amicalement. jacquot
PS poulbot, il faut et il suffit que le point A soit dans le bon demi-plan
Il me semble avoir donné plus haut une construction particulièrement simple.
Quant à la condition d'existence de solutions, c'est effectivement que $\widehat{ASM}$ soit obtus.
Amicalement. Poulbot
Dans ma lecture diagonale du fil, je ne m'étais pas arrêté sur ton message. Avec cette figure, ta jolie solution est bien mise en évidence.