Tangente

mpsi_quatre · December 2017

Bonjour

Il y a un résultat que je connais depuis la première et qu'en fait je connais sans réellement comprendre. C'est sur la fonction tangente.

On a défini dans le cours de mpsi de cette année les fonctions cos, sin et tan comme écrit ci-dessous. Pour cos et sin, aucun problème pour la compréhension géométrique. Par contre pour tan, pourquoi est-ce que cette définition donne bien géométriquement la partie rouge correspondante ? 70244

malaka · December 2017

Un peu de trigo et tu exprimes l'hypoténuse du triangle rectangle en fonction de $\cos x.
$
Tu utilise le théorème de Pythagore et un peu de calcul qui te permettent ensuite de trouver que c'est bien la tangente de $x$.

gerard0 · December 2017

Bonjour.

Pour le cas où le point $M$ est dans le premier quadrant (ta figure), il suffit d'exprimer les longueurs dans le triangle $OMT$ ($O$, centre du cercle; $M$ le point du cercle de coordonnées $\cos(x)$ et $\sin(x)$, $T$ l'autre extrémité du segment rouge), en utilisant l'angle en $O$ et les relations trigonométriques du collège (dans le triangle rectangle) :
$MT = \dfrac {MT}{OM}=\dfrac {\frac {MT}{OT}}{\frac {OM}{OT}}=\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}.$
On peut aussi utiliser des triangles semblables.

Dans le cas général, je ne sais pas, puisque je ne sais pas où est le "segment rouge".

En général, on fait apparaître la tangente en traçant la tangente au cercle au point $A\, (1,0)$, en la munissant du même repérage que $Oy$, puis en considérant l'intersection $T$ (ce n'est plus le même point $T$) avec $OM$. Alors $\tan(x)$ est l'abscisse de $T$ sur cette tangente. Je te laisse trouver pourquoi ...
Voir ce dessin.

Cordialement.

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