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Équation de cercle

Envoyé par posso49 
Équation de cercle
il y a deux années
Bonjour, je cherche de l'aide pour cet exercice.
Dans un repère orthonormé xoy, on considère les points fixes A(a,0) et A'(-a,0).
1°) Écrire les équations des droites Au et A'v de coefficients respectifs m et m'. Ces droites se coupent en M.
2°) On suppose que m et m' varient de façon à vérifier la relation mm'+1=(m'-m)cotg(t) où t est un angle donné. Trouver une relation indépendante de m et m' entre les coordonnées x et y de M et de l'angle t.
3°) Reconnaître le lieu du point M et interpréter la relation trouvée à l'aide de l'angle (MA,MB).

1°) Les équations sont y=mx-ma et y=m'x+m'a
Les coordonnées du point M: mx-ma=m'x+m'a => x=a(m+m')/m-m' et y=2amm'/m-m'
2°) Je suis bloqué sur cette question. Je ne vois pas comment traiter le m+m' de x.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Attention à bien faire la différence entre x=a(m+m')/m-m' et x=a(m+m')/(m-m').

sage: R.<a,t,m,mm,x,y> = PolynomialRing(QQ,6)
sage: I = R.ideal([y-m*(x-a),y-mm*(x+a),t*(m*mm+1)-mm+m])
sage: I.elimination_ideal([m,mm])
Ideal (a^2*t - t*x^2 - t*y^2 - 2*a*y) of Multivariate Polynomial Ring in a, t, m, mm, x, y over Rational Field
Re: Equation de cercle
il y a deux années
MathCoss gâche le travail.
Se souvenir que $(m+m')^2=(m-m')^2+4mm'$.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Merci gabuzomeu.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Bon, on trouve l'équation d'un cercle, ce n'est pas trop surprenant vu le titre du fil, non ?
Re: Équation de cercle
il y a deux années
Bien sûr, SAGE donne la réponse, mais je n'ai pas réussi à la trouver manuellement.
Re: Équation de cercle
il y a deux années
Même maintenant avec l'indication de GaBuZoMeu ? Ou est-ce que c'est une remarque « rétroactive » ?

(J'admets que le calcul par Sage n'aide pas pour trouver la réponse, si ce n'est qu'elle rassure quant à la simplicité du résultat. C'est pour ça que sans avoir l'impression d'aider, je n'avais pas l'impression de « gâcher ».)
Re: Équation de cercle
il y a deux années
oui même maintenant.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Avec $x^2={?}$, tu as trois équations où $m$ et $m'$ apparaissent à travers $p=mm'$ et $d=m'-m$. Il te reste à éliminer $p$ et $d$ entre ces trois équations. Une équation te donne facilement $p$ en fonction de $d$, on peut reporter dans les deux autres puis éliminer $d$. Pas très jouissif, mais avec un peu de soin et de patience on doit y arriver.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Je fais ça salement en supposant que $x\ne\pm a$. On obtient :
\[\begin{cases}m=\dfrac{y}{x-a}\\m'=\frac{y}{x+a}\end{cases}
\quad\text{donc}\quad m-m'=\frac{y}{x-a}-\frac{y}{x+a}=\frac{2ay}{x^2-a^2}.\]
Par ailleurs, en multipliant membre à membre les équations des droites, il vient $y^2=mm'(x^2-a^2)$. En posant $u=\cot t$ et en reportant dans $mm'+1=u(m'-m)$, il vient :
\[\frac{y^2}{x^2-a^2}+1=-u\left(\frac{2ay}{x^2-a^2}\right),\]
d'où l'équation $x^2+y^2-a^2+2auy=0$, aux erreurs de calcul près.
Re: Equation de cercle
il y a deux années
Bonsoir
$m=\dfrac y{x-a}$ et $m'=\dfrac y{x+a}$
On injecte ces relations dans: $mm'+1=(m'-m)\cot(t)$
Je ne vois pas très bien quelle est la difficulté?
Amicalement
pappus
Re: Équation de cercle
il y a deux années
Bonjour.
Merci à vous trois.
J'ai bien compris.
Amicalement.
Re: Équation de cercle
il y a deux années
Bonjour.

Le fait que la pente soit constante tout au long d'une droite caractérise, via le théorème de Thalès, le fait que les droites sont les courbes "qui vont en ligne droite". Et cette pente n'est autre que la tangente de l'angle orienté que fait cette droite sur l'horizontale. La formule (m-m')/(1+mm') est la formule de combinaison des pentes pour obtenir la tangente de l'angle orienté entre deux droites. Bilan: on obtient les cercles capables... qui sont des cercles en effet !

Cordialement, Pierre.
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